Страница 147 номер 15.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Известно, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — равносторонние (порядок вершин указан в направлении движения часовой стрелки). Середины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) являются вершинами треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний.
Введём комплексную плоскость. Пусть \(a\), \(b\), \(c\), \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) — комплексные координаты точек \(A\), \(B\), \(C\), \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\); \(P\), \(Q\), \(R\) — середины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), а \(z_P\), \(z_Q\), \(z_R\) — их комплексные координаты. Обозначим \(\varepsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\); тогда \(\overline{\varepsilon} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).
Треугольник \(ABC\) равносторонний, а обход \(A \to B \to C\) — по часовой стрелке, поэтому \(AC = AB\) и луч \(AC\) получается из луча \(AB\) поворотом по часовой стрелке на угол \(BAC\), равный \(\frac{\pi}{3}\): точка \(C\) — образ точки \(B\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\). Значит, \(\overrightarrow{AC} = \overline{\varepsilon} \cdot \overrightarrow{AB}\), т. е. \(c - a = \overline{\varepsilon}(b - a)\). Обход \(A_1 \to B_1 \to C_1\) тоже по часовой стрелке, поэтому с тем же множителем \(\overline{\varepsilon}\) получаем \(c_1 - a_1 = \overline{\varepsilon}(b_1 - a_1)\).
Комплексные координаты середин отрезков: \(z_P = \frac{a + a_1}{2}\), \(z_Q = \frac{b + b_1}{2}\), \(z_R = \frac{c + c_1}{2}\). Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{PR} = z_R - z_P = \frac{(c - a) + (c_1 - a_1)}{2} = \frac{\overline{\varepsilon}(b - a) + \overline{\varepsilon}(b_1 - a_1)}{2} = {} \\ &= \overline{\varepsilon} \cdot \frac{(b - a) + (b_1 - a_1)}{2} = \overline{\varepsilon}(z_Q - z_P) = \overline{\varepsilon} \cdot \overrightarrow{PQ}. \end{aligned}\]
Значит, вектор \(\overrightarrow{PR}\) получается из вектора \(\overrightarrow{PQ}\) поворотом на угол \(-\frac{\pi}{3}\): \(PR = PQ\) и \(\angle QPR = 60^\circ\). Равнобедренный треугольник \(PQR\) с углом \(60^\circ\) при вершине — равносторонний.
Ответ: доказано: вектор \(\overrightarrow{PR}\) получается из вектора \(\overrightarrow{PQ}\) поворотом на угол \(-60^\circ\), поэтому треугольник \(PQR\) с вершинами в серединах отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) равносторонний.
