Страница 146 номер 15.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Выразите \(\cos 6\alpha\) через \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\).
Пусть \(z = \cos \alpha + i\sin \alpha\). По формуле Муавра \[(\cos \alpha + i\sin \alpha)^6 = \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha.\] По формуле бинома Ньютона (при \(n = 6\) коэффициенты \(C_6^0\), \(C_6^1\), …, \(C_6^6\) равны \(1\), \(6\), \(15\), \(20\), \(15\), \(6\), \(1\)) с учётом равенства \(i^2 = -1\) \[\begin{aligned} &(\cos \alpha + i\sin \alpha)^6 = \cos^6 \alpha + 6\cos^5 \alpha(i\sin \alpha) + {} \\ &+ 15\cos^4 \alpha(i\sin \alpha)^2 + 20\cos^3 \alpha(i\sin \alpha)^3 + {} \\ &+ 15\cos^2 \alpha(i\sin \alpha)^4 + 6\cos \alpha(i\sin \alpha)^5 + (i\sin \alpha)^6 = {} \\ &= (\cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha) + {} \\ &+ (6\cos^5 \alpha\sin \alpha - 20\cos^3 \alpha\sin^3 \alpha + 6\cos \alpha\sin^5 \alpha)i. \end{aligned}\] Оба выражения равны числу \(z^6\), поэтому их действительные части равны: \[\cos 6\alpha = \cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha.\]
Ответ: \(\cos 6\alpha = \cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha\).
Выразите \(\cos 6\alpha\) через \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\).
Рассмотрим комплексное число \(z = \cos \alpha + i\sin \alpha\). Используя формулы Муавра и бинома Ньютона, представим число \(z^6\) двумя способами.
По формуле Муавра \[(\cos \alpha + i\sin \alpha)^6 = \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha.\]
По формуле бинома Ньютона \((a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n - 1}b + \ldots + C_n^n b^n\); при \(n = 6\) её коэффициенты \(C_6^0\), \(C_6^1\), …, \(C_6^6\) равны \(1\), \(6\), \(15\), \(20\), \(15\), \(6\), \(1\). Учитывая, что \(i^2 = -1\), получаем: \[\begin{aligned} &(\cos \alpha + i\sin \alpha)^6 = \cos^6 \alpha + 6\cos^5 \alpha(i\sin \alpha) + {} \\ &+ 15\cos^4 \alpha(i\sin \alpha)^2 + 20\cos^3 \alpha(i\sin \alpha)^3 + {} \\ &+ 15\cos^2 \alpha(i\sin \alpha)^4 + 6\cos \alpha(i\sin \alpha)^5 + (i\sin \alpha)^6 = {} \\ &= (\cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha) + {} \\ &+ (6\cos^5 \alpha\sin \alpha - 20\cos^3 \alpha\sin^3 \alpha + 6\cos \alpha\sin^5 \alpha)i. \end{aligned}\]
Оба выражения равны одному и тому же числу \(z^6\), поэтому их действительные части равны: \[\cos 6\alpha = \cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha.\]
Ответ: \(\cos 6\alpha = \cos^6 \alpha - 15\cos^4 \alpha\sin^2 \alpha + 15\cos^2 \alpha\sin^4 \alpha - \sin^6 \alpha\).
