Самостоятельная работа 25 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Раскроем каждую скобку по формулам сложения:

\(\cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha = \dfrac{1}{2}\cos \alpha + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha\);

\(\sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha = \dfrac{1}{2}\cos \alpha - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha\);

\(\cos(30^\circ + \alpha) = \cos 30^\circ \cos \alpha - \sin 30^\circ \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \dfrac{1}{2}\sin \alpha\);

\(\sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha + \dfrac{1}{2}\sin \alpha\).

Числитель дроби равен \[\left(\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha\right) = \sqrt{3}\sin \alpha.\]

Знаменатель дроби равен \[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha\right) = -\sin \alpha.\]

Дробь определена при \(\sin \alpha \ne 0\), и тогда она равна \(\dfrac{\sqrt{3}\sin \alpha}{-\sin \alpha} = -\sqrt{3}\).

2) Числитель — это синус суммы: \(\cos 58^\circ \sin 14^\circ + \sin 58^\circ \cos 14^\circ = \sin(14^\circ + 58^\circ) = \sin 72^\circ\).

Знаменатель — это косинус суммы: \(\cos 35^\circ \cos 37^\circ - \sin 35^\circ \sin 37^\circ = \cos(35^\circ + 37^\circ) = \cos 72^\circ\).

Значит, дробь равна \(\dfrac{\sin 72^\circ}{\cos 72^\circ} = \mathrm{tg}\,72^\circ\).

Ответ: 1) \(-\sqrt{3}\); 2) \(\mathrm{tg}\,72^\circ\).

Тождество рассматривается при тех \(\alpha\), при которых определён \(\mathrm{ctg}\,4\alpha\), то есть при \(\sin 4\alpha \ne 0\).

Аргумент \(8\alpha\) — это сумма \(4\alpha + 4\alpha\), поэтому по формулам сложения

\(\cos 8\alpha = \cos(4\alpha + 4\alpha) = \cos 4\alpha \cos 4\alpha - \sin 4\alpha \sin 4\alpha = \cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha\);

\(\sin 8\alpha = \sin(4\alpha + 4\alpha) = \sin 4\alpha \cos 4\alpha + \cos 4\alpha \sin 4\alpha = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha\).

Преобразуем левую часть тождества: \[\begin{aligned} &\cos 8\alpha - \mathrm{ctg}\,4\alpha \sin 8\alpha = \cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha - \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha = {} \\ &= \cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha - 2\cos^2 4\alpha = -\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha = {} \\ &= -(\cos^2 4\alpha + \sin^2 4\alpha) = -1. \end{aligned}\]

Левая часть преобразована к правой, значит, тождество верно при всех \(\alpha\), при которых его левая часть определена.

Ответ: тождество доказано: \(\cos 8\alpha - \mathrm{ctg}\,4\alpha \sin 8\alpha = -1\).

Представим \(75^\circ\) как сумму углов, тангенсы которых известны: \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\). Формулой тангенса суммы пользоваться можно: \(\cos 45^\circ \ne 0\), \(\cos 30^\circ \ne 0\) и \(\cos 75^\circ \ne 0\). Имеем: \[\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,75^\circ = \mathrm{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\mathrm{tg}\,45^\circ + \mathrm{tg}\,30^\circ}{1 - \mathrm{tg}\,45^\circ\,\mathrm{tg}\,30^\circ} = {} \\ &= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}. \end{aligned}\]

Освободимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(3 + \sqrt{3}\): \[\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}.\]

Полученное число больше единицы (\(2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73\)), и это отвечает тому, что \(75^\circ\) — угол I четверти, больший \(45^\circ\).

Ответ: \(2 + \sqrt{3}\).

Имеем: \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\dfrac{12}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}\).

Так как \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\), то \(\cos \alpha > 0\), следовательно, \(\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13}\).

По формуле косинуса суммы: \[\begin{aligned} &\cos(60^\circ + \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha - \sin 60^\circ \sin \alpha = {} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{26} + \frac{12\sqrt{3}}{26} = \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\dfrac{5 + 12\sqrt{3}}{26}\).

Представим данное выражение в виде синуса разности. Для этого вынесем за скобки число \(25\): \[7\sin \alpha - 24\cos \alpha = 25\left(\frac{7}{25}\sin \alpha - \frac{24}{25}\cos \alpha\right).\]

Так как \(\left(\dfrac{7}{25}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{25}\right)^2 = \dfrac{49}{625} + \dfrac{576}{625} = 1\), точка с координатами \(\left(\dfrac{7}{25};\ \dfrac{24}{25}\right)\) лежит на единичной окружности. Координаты точки единичной окружности — это косинус и синус угла поворота, которым эта точка получена из точки \(P_0(1;\ 0)\), поэтому существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos \varphi = \dfrac{7}{25}\) и \(\sin \varphi = \dfrac{24}{25}\). Тогда \[7\sin \alpha - 24\cos \alpha = 25(\sin \alpha \cos \varphi - \cos \alpha \sin \varphi) = 25\sin(\alpha - \varphi).\]

При любом значении аргумента \(\sin(\alpha - \varphi) \leqslant 1\), поэтому \(25\sin(\alpha - \varphi) \leqslant 25\).

Наибольшее значение данного выражения равно \(25\) (его выражение принимает при \(\sin(\alpha - \varphi) = 1\)).

Ответ: \(25\).

Дробь из условия — правая часть формулы тангенса суммы при \(\alpha = 3x\) и \(\beta = x\): \[\frac{\mathrm{tg}\,3x + \mathrm{tg}\,x}{1 - \mathrm{tg}\,3x\,\mathrm{tg}\,x} = \mathrm{tg}(3x + x) = \mathrm{tg}\,4x.\]

Формула тангенса суммы верна при \(\cos 3x \ne 0\), \(\cos x \ne 0\) и \(\cos 4x \ne 0\). Эти же три условия задают и область определения данной функции: тангенсы \(\mathrm{tg}\,3x\) и \(\mathrm{tg}\,x\) требуют первых двух условий, а знаменатель обращается в нуль ровно тогда, когда \(\cos 4x = 0\), потому что \[1 - \mathrm{tg}\,3x\,\mathrm{tg}\,x = \frac{\cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x}{\cos 3x \cos x} = \frac{\cos 4x}{\cos 3x \cos x}.\]

Значит, \[D(y) = \left\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4},\ x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3},\ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m,\ k, n, m \in \mathbf{Z}\right\}.\]

Условие \(\cos 4x \ne 0\) — это область определения самой функции \(y = \mathrm{tg}\,4x\): в точках \(\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{4}\) у графика вертикальные асимптоты. Точки \(\dfrac{\pi}{2} + \pi m\) входят в семейство \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi n}{3}\) (при \(n = 3m + 1\)), поэтому новых исключённых точек условие \(\cos x \ne 0\) не добавляет, и все проколы графика задаются условием \(\cos 3x \ne 0\). С асимптотами эти проколы не совпадают: равенство \(\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{4} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi n}{3}\) после умножения на \(\dfrac{24}{\pi}\) даёт \(3 + 6k = 4 + 8n\), где слева стоит нечётное число, а справа чётное, — таких целых \(k\) и \(n\) нет.

Все исключённые точки при сдвиге на \(\pi\) переходят сами в себя, и \(\mathrm{tg}\,4(x + \pi) = \mathrm{tg}\,4x\), поэтому достаточно описать график на промежутке длиной \(\pi\).

На промежутке \([0;\ \pi)\) выколоты три точки: \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{2}\) и \(\dfrac{5\pi}{6}\); все их ординаты табличные — \(\mathrm{tg}\,\dfrac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}\), \(\mathrm{tg}\,2\pi = 0\), \(\mathrm{tg}\,\dfrac{10\pi}{3} = \sqrt{3}\).

Построим тангенсоиду \(y = \mathrm{tg}\,4x\) на промежутке \(\left[-\dfrac{\pi}{8};\ \dfrac{7\pi}{8}\right]\): его длина равна \(\pi\), концами служат асимптоты, а внутри лежат ещё три асимптоты и все три выколотые точки.

Дальше график повторяется через \(\pi\): на каждом промежутке такой длины картина та же — четыре ветви тангенсоиды и три выколотые точки.