Самостоятельная работа 25 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Раскроем скобки в числителе и в знаменателе по формулам синуса суммы и косинуса суммы: \[\sin(45^\circ + \alpha) = \sin 45^\circ\cos\alpha + \cos 45^\circ\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha);\] \[\cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ\cos\alpha - \sin 45^\circ\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha).\]

Тогда числитель дроби равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\big((\cos\alpha + \sin\alpha) - (\cos\alpha - \sin\alpha)\big) = \sqrt{2}\sin\alpha\), а знаменатель равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\big((\cos\alpha + \sin\alpha) + (\cos\alpha - \sin\alpha)\big) = \sqrt{2}\cos\alpha\). Имеем: \[\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)} = \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \mathrm{tg}\,\alpha.\]

Знаменатель исходной дроби отличен от нуля в точности при \(\cos\alpha \ne 0\) — при этом же условии определён и тангенс.

2) Числитель — правая часть формулы синуса суммы для углов \(21^\circ\) и \(28^\circ\), а знаменатель — правая часть формулы косинуса суммы для углов \(18^\circ\) и \(31^\circ\). Имеем: \[\frac{\sin 21^\circ\cos 28^\circ + \cos 21^\circ\sin 28^\circ}{\cos 18^\circ\cos 31^\circ - \sin 18^\circ\sin 31^\circ} = \frac{\sin(21^\circ + 28^\circ)}{\cos(18^\circ + 31^\circ)} = \frac{\sin 49^\circ}{\cos 49^\circ} = \mathrm{tg}\,49^\circ.\]

Ответ: 1) \(\mathrm{tg}\,\alpha\); 2) \(\mathrm{tg}\,49^\circ\).

Котангенс определён при \(\sin\alpha \ne 0\), поэтому обе части равенства имеют смысл при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Представим \(2\alpha\) в виде суммы \(\alpha + \alpha\) и раскроем синус суммы и косинус суммы: \[\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha;\] \[\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.\]

Преобразуем левую часть тождества, заменив котангенс отношением косинуса к синусу и приведя слагаемые к общему знаменателю \(\sin\alpha\). Имеем: \[\begin{aligned} &\sin 2\alpha + \cos 2\alpha\,\mathrm{ctg}\,\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin^2\alpha\cos\alpha + \cos^3\alpha - \sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha\cos\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \mathrm{ctg}\,\alpha. \end{aligned}\]

Левая часть равенства оказалась равной правой при всех допустимых значениях \(\alpha\), значит, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано: \(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha\,\mathrm{ctg}\,\alpha = \mathrm{ctg}\,\alpha\).

Формулы котангенса суммы нет, поэтому сначала найдём тангенс угла \(75^\circ\), представив его в виде суммы табличных углов: \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\). Косинусы углов \(45^\circ\), \(30^\circ\) и \(75^\circ\) отличны от нуля, поэтому формулой тангенса суммы пользоваться можно. Имеем: \[\mathrm{tg}\,75^\circ = \mathrm{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\mathrm{tg}\,45^\circ + \mathrm{tg}\,30^\circ}{1 - \mathrm{tg}\,45^\circ\,\mathrm{tg}\,30^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}.\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(3 + \sqrt{3}\): \[\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}.\]

Синус и косинус угла \(75^\circ\) отличны от нуля, поэтому \(\mathrm{tg}\,75^\circ\,\mathrm{ctg}\,75^\circ = 1\). Имеем: \[\begin{aligned} &\mathrm{ctg}\,75^\circ = \frac{1}{\mathrm{tg}\,75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = {} \\ &= \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}. \end{aligned}\]

Полученное число положительно, и это согласуется с тем, что \(75^\circ\) — угол первой четверти, где котангенс принимает положительные значения.

Ответ: \(2 - \sqrt{3}\).

Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\).

Так как \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), то \(\sin\alpha > 0\), следовательно, \(\sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\).

По формуле косинуса суммы имеем: \[\cos(\alpha + 45^\circ) = \cos\alpha\cos 45^\circ - \sin\alpha\sin 45^\circ = -\frac{5}{13}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{12}{13}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{5}{13} - \frac{12}{13}\right) = -\frac{17\sqrt{2}}{26}.\]

Проверка: найдём синус того же угла по формуле синуса суммы: \(\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha\cos 45^\circ + \cos\alpha\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{12}{13} - \frac{5}{13}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{26}\). Сумма квадратов найденных значений равна \(\frac{578 + 98}{676} = 1\), как и должно быть по основному тригонометрическому тождеству.

Ответ: \(-\dfrac{17\sqrt{2}}{26}\).

Вынесем за скобки число \(17\): \[8\cos\alpha - 15\sin\alpha = 17\left(\frac{8}{17}\cos\alpha - \frac{15}{17}\sin\alpha\right).\]

Так как \(\left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{64 + 225}{289} = 1\), точка с координатами \(\left(\frac{8}{17};\ \frac{15}{17}\right)\) лежит на единичной окружности. Координаты точки единичной окружности — это косинус и синус того угла поворота, которым эта точка получена из точки \((1;\ 0)\). Значит, существует такой угол \(\varphi\), что \(\cos\varphi = \frac{8}{17}\) и \(\sin\varphi = \frac{15}{17}\).

Подставим эти значения и свернём выражение в скобках по формуле косинуса суммы: \[8\cos\alpha - 15\sin\alpha = 17(\cos\alpha\cos\varphi - \sin\alpha\sin\varphi) = 17\cos(\alpha + \varphi).\]

Для любого угла верно \(\cos(\alpha + \varphi) \geqslant -1\), поэтому \(17\cos(\alpha + \varphi) \geqslant -17\). Значение \(-17\) выражение принимает при \(\cos(\alpha + \varphi) = -1\), например при \(\alpha = \pi - \varphi\).

Ответ: \(-17\).

Функция задана правой частью формулы тангенса разности при \(\alpha = 4x\) и \(\beta = 2x\).

Функция определена при тех значениях \(x\), при которых определены оба тангенса и знаменатель дроби отличен от нуля: \[\begin{cases} \cos 4x \ne 0, \\ \cos 2x \ne 0, \\ 1 + \mathrm{tg}\,4x\,\mathrm{tg}\,2x \ne 0. \end{cases}\]

Преобразуем левую часть третьего условия. По формуле косинуса разности числитель получившейся дроби свернётся: \(\cos 4x\cos 2x + \sin 4x\sin 2x = \cos(4x - 2x) = \cos 2x\). При \(\cos 4x \ne 0\) и \(\cos 2x \ne 0\) имеем: \[1 + \mathrm{tg}\,4x\,\mathrm{tg}\,2x = 1 + \frac{\sin 4x\sin 2x}{\cos 4x\cos 2x} = \frac{\cos 4x\cos 2x + \sin 4x\sin 2x}{\cos 4x\cos 2x} = \frac{\cos 2x}{\cos 4x\cos 2x} = \frac{1}{\cos 4x}.\]

Дробь \(\frac{1}{\cos 4x}\) в нуль не обращается, поэтому третье условие выполняется всегда, когда выполнены первые два.

Область определения задают условия \(\cos 4x \ne 0\) и \(\cos 2x \ne 0\), то есть \(4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) и \(2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\): \[D(y) = \left\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4},\ x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\ n \in \mathbf{Z},\ k \in \mathbf{Z}\right\}.\]

На всей области определения выполнены условия применимости формулы тангенса разности (\(\cos 4x \ne 0\), \(\cos 2x \ne 0\), \(\cos(4x - 2x) \ne 0\)), поэтому \[y = \frac{\mathrm{tg}\,4x - \mathrm{tg}\,2x}{1 + \mathrm{tg}\,4x\,\mathrm{tg}\,2x} = \mathrm{tg}(4x - 2x) = \mathrm{tg}\,2x.\]

Значит, графиком служит тангенсоида \(y = \mathrm{tg}\,2x\) с периодом \(\frac{\pi}{2}\), нулями \(x = \frac{\pi n}{2}\) и вертикальными асимптотами \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\), из которой выброшены точки с абсциссами \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\). Их ординаты чередуются: \(\left(-\frac{3\pi}{8};\ 1\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{8};\ -1\right)\), \(\left(\frac{\pi}{8};\ 1\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{8};\ -1\right)\), а дальше картина повторяется через \(\pi\).

На каждой ветви тангенсоиды проколов два, и лежат они симметрично относительно нуля этой ветви: например, на ветви между прямыми \(x = -\frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{\pi}{4}\) выброшены точки \(\left(-\frac{\pi}{8};\ -1\right)\) и \(\left(\frac{\pi}{8};\ 1\right)\).

Построим график.