Страница 431 номер 1618, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Точки пересечения:

\(x^{2} + 2x - 3 = kx + 1,\)
\(x^{2} + (2 - k)x - 4 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{k - 2 \pm \sqrt{(2 - k)^{2} + 16}}{2},\)
\(x_{2} - x_{1} = \dfrac{k - 2 + \sqrt{(2 - k)^{2} + 16}}{2} - \dfrac{k - 2 - \sqrt{(2 - k)^{2} + 16}}{2} =\)
\(= \sqrt{(2 - k)^{2} + 16} =\)
\(= \sqrt{20 - 4k + k^{2}},\)
\(S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( kx + 1 - x^{2} - 2x + 3 \right)dx} = \left. \ \left( \dfrac{kx^{2}}{2} - x^{2} + 4x - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \right|_{x_{1}}^{x_{2}} =\)
\(= \left. \ \dfrac{3x^{2}(k - 2) + 24x - 2x^{3}}{6} \right|_{x_{1}}^{x_{2}} =\)
\(= \dfrac{3(k - 2)\left( x_{2}^{2} - x_{1}^{2} \right) + 24\left( x_{2} - x_{1} \right) - 2\left( x_{2}^{3} - x_{1}^{3} \right)}{6} =\)
\(= \dfrac{\left( x_{2} - x_{1} \right)\left( 3(k - 2)\left( x_{1} + x_{2} \right) + 24 - 2\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} + 2x_{1}x_{2} \right)}{6},\)
\(x_{1} + x_{2} = k - 2\), \(x_{1}x_{2} = - 4\) – по теореме Виета;
\(S = \dfrac{\sqrt{20 - 4k + k^{2}}\left( 3(k - 2)^{2} + 24 - 2(k - 2)^{2} - 8 \right)}{6} =\)
\(= \dfrac{\sqrt{20 - 4k + k^{2}}\left( 20 - 4k + k^{2} \right)}{6} = \dfrac{\left( \sqrt{20 - 4k + k^{2}} \right)^{3}}{6}\)
\(S\) наименьшая, когда \(f(k) = 20 - 4k + k^{2}\) минимальна.

Т.е. \(f'(k) = 2k - 4 = 0\), \(k = 2\) – точка минимума.

Ответ: площадь наименьшая при \(k = 2\).