Страница 144 номер 15.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Дано:
правильная треугольная усечённая пирамида, \(ABC\) — её большее основание
\(AB = 12\) см, сторона меньшего основания — \(6\) см
шар вписан в усечённую пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Продолжим боковые рёбра усечённой пирамиды до пересечения в точке \(S\): получим правильную пирамиду \(SABC\). Пусть \(H\) и \(H_1\) — центры большего и меньшего оснований (они лежат на высоте \(SH\) пирамиды \(SABC\)), \(M\) — середина ребра \(BC\), \(MM_1\) — апофема боковой грани, содержащей ребро \(BC\) (она лежит на апофеме \(SM\); \(M_1\) — середина стороны меньшего основания, лежащей в этой грани), \(O\) — центр шара.
Основание \(ABC\) и боковые грани усечённой пирамиды касаются шара. Основание \(ABC\) — грань пирамиды \(SABC\), а каждая боковая грань усечённой пирамиды — часть боковой грани пирамиды \(SABC\), поэтому каждая грань пирамиды \(SABC\) лежит в плоскости, касающейся шара, и имеет с ним общую точку, то есть касается шара. Значит, шар вписан в правильную пирамиду \(SABC\), а центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, принадлежит её высоте: \(O\) лежит на высоте \(SH\). Высота \(SH\) перпендикулярна плоскостям обоих оснований, поэтому \(OH\) и \(OH_1\) — перпендикуляры из центра шара к этим плоскостям, а \(H\) и \(H_1\) — точки касания шара с основаниями (касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).
Центр \(H\) правильного треугольника \(ABC\) лежит на его медиане \(AM\), которая является высотой, поэтому \(HM \perp BC\); апофема \(SM\) тоже перпендикулярна \(BC\). Значит, \(BC \perp SHM\). В плоскости \(SHM\) проведём \(OK \perp MM_1\). Прямая \(OK\) лежит в плоскости \(SHM\), поэтому \(OK \perp BC\); значит, \(OK \perp SBC\), и \(K\) — точка касания шара с боковой гранью, лежащей в плоскости \(SBC\). Точка касания принадлежит грани, поэтому \(K\) лежит на отрезке \(MM_1\).
Из точки \(M\) к шару проведены касательные \(MH\) (она лежит в плоскости основания, касающейся шара в точке \(H\)) и \(MK\) (лежит в плоскости грани, касающейся шара в точке \(K\)), поэтому \(MK = MH\); так же \(M_1K = M_1H_1\). Значит, апофема усечённой пирамиды \(MM_1 = MK + KM_1 = MH + M_1H_1\).
\(MH\) и \(M_1H_1\) — радиусы окружностей, вписанных в правильные треугольники со сторонами \(12\) см и \(6\) см:
\[\begin{aligned} MH &= \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ M_1H_1 &= \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \text{ (см)}; \\ MM_1 &= 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Апофема \(MM_1\) — высота боковой грани, равнобокой трапеции с основаниями \(12\) см и \(6\) см. Боковые грани — три такие равные трапеции, поэтому \(S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{12 + 6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(81\sqrt{3}\) см\(^2\).
Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Дано:
правильная треугольная усечённая пирамида, \(ABC\) — её большее основание
\(AB = 12\) см, сторона меньшего основания — \(6\) см
шар вписан в усечённую пирамиду
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Продолжим боковые рёбра усечённой пирамиды до пересечения в точке \(S\): получим правильную пирамиду \(SABC\). Пусть \(H\) и \(H_1\) — центры большего и меньшего оснований (они лежат на высоте \(SH\) пирамиды \(SABC\)), \(M\) — середина ребра \(BC\), \(MM_1\) — апофема боковой грани, содержащей ребро \(BC\) (она лежит на апофеме \(SM\); \(M_1\) — середина стороны меньшего основания, лежащей в этой грани), \(O\) — центр шара.
Основание \(ABC\) и боковые грани усечённой пирамиды касаются шара. Основание \(ABC\) — грань пирамиды \(SABC\), а каждая боковая грань усечённой пирамиды — часть боковой грани пирамиды \(SABC\), поэтому каждая грань пирамиды \(SABC\) лежит в плоскости, касающейся шара, и имеет с ним общую точку, то есть касается шара. Значит, шар вписан в правильную пирамиду \(SABC\), а центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, принадлежит её высоте: \(O\) лежит на высоте \(SH\). Высота \(SH\) перпендикулярна плоскостям обоих оснований, поэтому \(OH\) и \(OH_1\) — перпендикуляры из центра шара к этим плоскостям, а \(H\) и \(H_1\) — точки касания шара с основаниями (касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).
Центр \(H\) правильного треугольника \(ABC\) лежит на его медиане \(AM\), которая является высотой, поэтому \(HM \perp BC\); апофема \(SM\) тоже перпендикулярна \(BC\). Значит, \(BC \perp SHM\). В плоскости \(SHM\) проведём \(OK \perp MM_1\). Прямая \(OK\) лежит в плоскости \(SHM\), поэтому \(OK \perp BC\); значит, \(OK \perp SBC\), и \(K\) — точка касания шара с боковой гранью, лежащей в плоскости \(SBC\). Точка касания принадлежит грани, поэтому \(K\) лежит на отрезке \(MM_1\).
Отрезки касательных, проведённых к шару из одной точки, равны. Из точки \(M\) к шару проведены касательные \(MH\) (она лежит в плоскости основания, касающейся шара в точке \(H\)) и \(MK\) (лежит в плоскости грани, касающейся шара в точке \(K\)), поэтому \(MK = MH\); так же \(M_1K = M_1H_1\). Значит, апофема усечённой пирамиды \(MM_1 = MK + KM_1 = MH + M_1H_1\).
\(MH\) и \(M_1H_1\) — радиусы окружностей, вписанных в правильные треугольники со сторонами \(12\) см и \(6\) см:
\[\begin{aligned} MH &= \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ M_1H_1 &= \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \text{ (см)}; \\ MM_1 &= 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Апофема \(MM_1\) — высота боковой грани, равнобокой трапеции с основаниями \(12\) см и \(6\) см. Боковые грани — три такие равные трапеции, поэтому \(S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{12 + 6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(81\sqrt{3}\) см\(^2\).
