Страница 135 номер 14.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная усечённая пирамида
\(AB = 12\sqrt{3}\) см — сторона большего основания
\(A_1B_1 = 5\sqrt{3}\) см — сторона меньшего основания
\(h = 17\) см — высота

Найти: \(R\) — радиус описанного шара.

Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Основания правильной усечённой пирамиды — правильные треугольники, а отрезок \(O_1O_2\), соединяющий их центры, — её высота: \(O_1O_2 \perp ABC\), \(O_1O_2 \perp A_1B_1C_1\), \(O_1O_2 = 17\) см. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной \(a\), равен \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\):

\[\begin{aligned} O_1A &= \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 12 \text{ (см)}; \\ O_2A_1 &= \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 5 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Центр \(O\) шара равноудалён от вершин треугольника \(ABC\), поэтому лежит на прямой, перпендикулярной плоскости \(ABC\) и проходящей через центр \(O_1\) описанной около него окружности, то есть на прямой \(O_1O_2\).

Отрезок \(OO_1\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), а \(OO_2\) — плоскости \(A_1B_1C_1\), поэтому по теореме Пифагора (равенства верны и при совпадении точки \(O\) с \(O_1\) или с \(O_2\))

\[\begin{aligned} R^2 &= OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2 = OO_1^2 + 144; \\ R^2 &= OA_1^2 = OO_2^2 + O_2A_1^2 = OO_2^2 + 25. \end{aligned}\]

Пусть \(OO_1 = x\) см, \(x \geqslant 0\). Если точки \(O\) и \(O_2\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\) (или точка \(O\) лежит в этой плоскости), то \(OO_2 = |17 - x|\):

\[\begin{aligned} x^2 + 144 &= (17 - x)^2 + 25; \\ x^2 + 144 &= 289 - 34x + x^2 + 25; \\ 34x &= 170; \qquad | : 34 \\ x &= 5. \end{aligned}\]

Если же точки \(O\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от плоскости \(ABC\), то \(OO_2 = 17 + x\):

\[\begin{aligned} x^2 + 144 &= (17 + x)^2 + 25; \\ x^2 + 144 &= 289 + 34x + x^2 + 25; \\ 34x &= -170; \qquad | : 34 \\ x &= -5. \end{aligned}\]

Это невозможно, так как \(x \geqslant 0\). Значит, \(OO_1 = 5\) см, \(OO_2 = 17 - 5 = 12\) (см): центр шара лежит между плоскостями оснований.

\[R = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 \text{ (см)}.\]

Ответ: 13 см.