Страница 136 номер 14.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AC = 5\) см, \(BC = 7\) см, \(AB = 4\sqrt{2}\) см
\(ADC \perp ABC\), \(ADB \perp ABC\)
угол между гранью \(BDC\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\)
Найти: \(R\) — радиус описанной сферы.
Решение: Плоскости граней \(ADC\) и \(ADB\) различны и имеют общие точки \(A\) и \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(AD\); каждая из них перпендикулярна плоскости основания. Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости; значит, \(DA \perp ABC\).
По теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):
\[\cos\angle ACB = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{25 + 49 - 32}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{42}{70} = \frac{3}{5}.\]
Угол треугольника меньше \(180^\circ\), поэтому его синус положителен: \(\sin\angle ACB = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}\).
Угол \(ACB\) острый, поэтому основание \(K\) высоты \(AK\) треугольника \(ABC\), проведённой к стороне \(BC\), лежит на луче \(CB\), и из прямоугольного треугольника \(AKC\): \(AK = AC\sin\angle ACB = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4\) (см). Отрезок \(AK\) — проекция наклонной \(DK\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(DK \perp BC\). Значит, \(\angle DKA\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\); он острый (угол прямоугольного треугольника \(DAK\)), поэтому равен углу между гранью \(BDC\) и плоскостью основания: \(\angle DKA = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(DAK\) с углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(DA = AK = 4\) см.
По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(\frac{AB}{2\sin\angle ACB} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) (см). Пусть \(O_1\) — центр этой окружности, \(O_1A = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) см, и \(N\) — середина ребра \(DA\), \(AN = 2\) см. Центр \(O\) сферы равноудалён от вершин \(A\), \(B\), \(C\), поэтому лежит на прямой \(a\), перпендикулярной плоскости основания и проходящей через \(O_1\). Кроме того, \(OD = OA\), поэтому точка \(O\) лежит в плоскости, перпендикулярной ребру \(DA\) и проходящей через его середину \(N\), и \(ON \perp DA\). Прямые \(a\) и \(DA\) перпендикулярны плоскости основания и проходят через различные точки \(O_1\) и \(A\) этой плоскости, поэтому они различны, параллельны и лежат в одной плоскости; в этой плоскости \(ON \perp DA\) и \(O_1A \perp DA\), поэтому \(ON \parallel O_1A\), и четырёхугольник \(O_1ANO\) — прямоугольник. Значит, \(OO_1 = AN = 2\) см.
Треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)), \(OA = R\):
\[R = \sqrt{O_1A^2 + OO_1^2} = \sqrt{\frac{25}{2} + 4} = \sqrt{\frac{33}{2}} = \frac{\sqrt{66}}{2} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{66}}{2}\) см.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AC = 5\) см, \(BC = 7\) см, \(AB = 4\sqrt{2}\) см
\(ADC \perp ABC\), \(ADB \perp ABC\)
угол между гранью \(BDC\) и плоскостью \(ABC\) равен \(45^\circ\)
Найти: \(R\) — радиус описанной сферы.
Решение: Плоскости граней \(ADC\) и \(ADB\) различны и имеют общие точки \(A\) и \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(AD\); каждая из них перпендикулярна плоскости основания. Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости; значит, \(DA \perp ABC\).
По теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):
\[\cos\angle ACB = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{25 + 49 - 32}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{42}{70} = \frac{3}{5}.\]
Угол треугольника меньше \(180^\circ\), поэтому его синус положителен: \(\sin\angle ACB = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}\).
Угол \(ACB\) острый, поэтому основание \(K\) высоты \(AK\) треугольника \(ABC\), проведённой к стороне \(BC\), лежит на луче \(CB\), и из прямоугольного треугольника \(AKC\): \(AK = AC\sin\angle ACB = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4\) (см). Отрезок \(AK\) — проекция наклонной \(DK\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(DK \perp BC\). Значит, \(\angle DKA\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(BC\); он острый (угол прямоугольного треугольника \(DAK\)), поэтому равен углу между гранью \(BDC\) и плоскостью основания: \(\angle DKA = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(DAK\) с углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(DA = AK = 4\) см.
По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(\frac{AB}{2\sin\angle ACB} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) (см). Пусть \(O_1\) — центр этой окружности, \(O_1A = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) см, и \(N\) — середина ребра \(DA\), \(AN = 2\) см. Центр \(O\) сферы равноудалён от вершин \(A\), \(B\), \(C\), поэтому лежит на прямой \(a\), перпендикулярной плоскости основания и проходящей через \(O_1\). Кроме того, \(OD = OA\), поэтому точка \(O\) лежит в плоскости, перпендикулярной ребру \(DA\) и проходящей через его середину \(N\) (геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка), и \(ON \perp DA\). Прямые \(a\) и \(DA\) перпендикулярны плоскости основания и проходят через различные точки \(O_1\) и \(A\) этой плоскости, поэтому они различны, параллельны и лежат в одной плоскости; в этой плоскости \(ON \perp DA\) и \(O_1A \perp DA\), поэтому \(ON \parallel O_1A\), и четырёхугольник \(O_1ANO\) — прямоугольник. Значит, \(OO_1 = AN = 2\) см.
Треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)), \(OA = R\):
\[R = \sqrt{O_1A^2 + OO_1^2} = \sqrt{\frac{25}{2} + 4} = \sqrt{\frac{33}{2}} = \frac{\sqrt{66}}{2} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{66}}{2}\) см.
