Страница 136 номер 14.28, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — усечённая пирамида, вписанная в шар
\(\angle ABC = 90^\circ\)
\(AB = 8\) см, \(BC = 16\sqrt{2}\) см
\(B_1C_1 = 12\sqrt{2}\) см
\(h = 3\) см — высота

Найти: \(R\) — радиус шара.

Решение: Основания усечённой пирамиды подобны: треугольник \(A_1B_1C_1\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{12\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{3}{4}\), поэтому \(\angle A_1B_1C_1 = \angle ABC = 90^\circ\). По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{64 + 512} = 24\) (см), тогда \(A_1C_1 = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18\) (см).

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы. Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — середины гипотенуз \(AC\) и \(A_1C_1\); радиусы окружностей, описанных около оснований: \(O_1C = 12\) см, \(O_2C_1 = 9\) см.

Центр \(O\) шара равноудалён от вершин треугольника \(ABC\), поэтому лежит на прямой \(a\), перпендикулярной плоскости \(ABC\) и проходящей через \(O_1\); он равноудалён и от вершин треугольника \(A_1B_1C_1\), поэтому лежит на прямой \(b\), перпендикулярной плоскости \(A_1B_1C_1\) и проходящей через \(O_2\). Плоскости оснований параллельны, поэтому прямая \(b\) тоже перпендикулярна плоскости \(ABC\). Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны и общих точек не имеют, а у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(O\); значит, \(a\) и \(b\) — одна и та же прямая \(O_1O_2\). Она перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому \(O_1O_2 = h = 3\) см.

Отрезок \(OO_1\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), а \(OO_2\) — плоскости \(A_1B_1C_1\), поэтому по теореме Пифагора (равенства верны и при совпадении точки \(O\) с \(O_1\) или с \(O_2\))

\[\begin{aligned} R^2 &= OC^2 = OO_1^2 + O_1C^2 = OO_1^2 + 144; \\ R^2 &= OC_1^2 = OO_2^2 + O_2C_1^2 = OO_2^2 + 81. \end{aligned}\]

Пусть \(OO_1 = x\) см, \(x \geqslant 0\). Если точки \(O\) и \(O_2\) лежат по одну сторону от плоскости \(ABC\) (или точка \(O\) лежит в этой плоскости), то \(OO_2 = |3 - x|\):

\[\begin{aligned} x^2 + 144 &= (3 - x)^2 + 81; \\ x^2 + 144 &= 9 - 6x + x^2 + 81; \\ 6x &= -54; \qquad | : 6 \\ x &= -9. \end{aligned}\]

Это невозможно, так как \(x \geqslant 0\). Значит, точки \(O\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от плоскости \(ABC\) и \(OO_2 = 3 + x\):

\[\begin{aligned} x^2 + 144 &= (3 + x)^2 + 81; \\ x^2 + 144 &= 9 + 6x + x^2 + 81; \\ 6x &= 54; \qquad | : 6 \\ x &= 9. \end{aligned}\]

Центр шара лежит вне усечённой пирамиды: на расстоянии 9 см от плоскости большего основания, по другую сторону от неё, чем меньшее основание.

\[R = \sqrt{OO_1^2 + O_1C^2} = \sqrt{81 + 144} = 15 \text{ (см)}.\]

Ответ: 15 см.