Страница 123 номер 13.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера с центром \(O\) и радиусом \(r\)
плоскость \(\alpha\) пересекает сферу, \(d = 6\) см — расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\)
длина линии пересечения сферы с плоскостью \(\alpha\) равна \(16\pi\) см

Найти: \(r\).

Решение: Сфера и плоскость \(\alpha\) пересекаются по линии, имеющей длину, то есть имеют больше одной общей точки. Если бы расстояние \(d\) от центра сферы до плоскости было больше радиуса, общих точек не было бы, а если бы равнялось радиусу — общая точка была бы одна; значит, \(d < r\). Тогда линия пересечения — окружность, центр которой — основание \(O_1\) перпендикуляра \(OO_1\), опущенного из центра сферы на плоскость \(\alpha\); \(OO_1 = d = 6\) см.

Пусть \(A\) — точка этой окружности, тогда \(O_1A\) — её радиус и \(OA = r\). По длине окружности \(2\pi \cdot O_1A = 16\pi\), откуда \(O_1A = 8\) см.

Отрезок \(OO_1\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\), а отрезок \(O_1A\) лежит в ней, поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)), и по теореме Пифагора \[\begin{aligned} &r = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 10 см.