Страница 123 номер 13.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
шар с центром \(O\), \(r = 13\) см
плоскость \(\alpha\) пересекает шар по кругу площадью \(25\pi\) см\(^2\)

Найти: \(d\) — расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\).

Решение: Сечение шара плоскостью \(\alpha\) — круг, поэтому у плоскости с шаром больше одной общей точки. При \(d > r\) общих точек не было бы, а при \(d = r\) общая точка была бы одна; значит, \(d < r\). Плоскость \(\alpha\) не проходит через центр шара: иначе сечением был бы большой круг радиуса 13 см, площадь которого \(\pi \cdot 13^2 = 169\pi\) (см\(^2\)), а не \(25\pi\) см\(^2\). Поэтому \(0 < d < r\), и сечение — круг с центром \(O_1\) — основанием перпендикуляра \(OO_1\), опущенного из центра шара на плоскость \(\alpha\); \(d = OO_1\).

Пусть \(A\) — точка окружности, ограничивающей этот круг; она лежит на поверхности шара, поэтому \(OA = r = 13\) см, а \(O_1A\) — радиус круга. По площади круга \(\pi \cdot O_1A^2 = 25\pi\), откуда \(O_1A^2 = 25\), \(O_1A = 5\) см.

Отрезок \(OO_1\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\), а отрезок \(O_1A\) лежит в ней, поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)), и по теореме Пифагора \[\begin{aligned} &d = OO_1 = \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 12 см.