Страница 124 номер 13.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера с центром \(O\), плоскость \(\alpha\) пересекает сферу
\(d = 2\) см — расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\)
\(A\) — точка линии пересечения, угол между радиусом \(OA\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\)

Найти: длину линии пересечения сферы с плоскостью \(\alpha\).

Решение: Опустим из центра \(O\) перпендикуляр \(OO_1\) на плоскость \(\alpha\): \(OO_1 = d = 2\) см. Радиус \(OA\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(30^\circ\), то есть является наклонной к ней, поэтому \(OA > OO_1\): расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса. Значит, линия пересечения — окружность с центром \(O_1\), точка \(A\) лежит на этой окружности, и её радиус равен \(O_1A\).

Отрезок \(O_1A\) — проекция наклонной \(OA\) на плоскость \(\alpha\), поэтому угол между радиусом \(OA\) и плоскостью \(\alpha\) — это угол \(OAO_1\): \(\angle OAO_1 = 30^\circ\).

Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\) (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)): \(O_1A = OO_1 \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = 2\operatorname{ctg} 30^\circ = 2\sqrt{3}\) (см). Длина линии пересечения — длина окружности радиуса \(O_1A\): \[2\pi \cdot O_1A = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(4\pi\sqrt{3}\) см.