Страница 123 номер 13.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

1) Пусть точка \(A\) принадлежит сфере с центром \(O\), а \(\alpha\) — плоскость, проходящая через точку \(A\) перпендикулярно радиусу \(OA\); она является касательной плоскостью к сфере, так как проходит через конец радиуса \(OA\), отличного от центра сферы, и перпендикулярна этому радиусу. Если фигура принадлежит касательной плоскости и имеет со сферой общую точку, то говорят, что эта фигура касается сферы; поэтому каждая прямая, которая лежит в плоскости \(\alpha\) и проходит через точку \(A\), — касательная к сфере. Через точку \(A\) в плоскости \(\alpha\) проходит бесконечно много прямых (например, \(a\), \(b\) и \(c\)), и все они касаются сферы.

2) Пусть точка \(A\) расположена вне сферы с центром \(O\) и радиусом \(r\): \(OA > r\). Проведём через прямую \(OA\) произвольную плоскость \(\beta\). Она проходит через центр сферы и пересекает сферу по большой окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\); точка \(A\) лежит вне этой окружности, поэтому из неё можно провести к окружности две касательные \(AB\) и \(AC\) (\(B\) и \(C\) — точки касания).

Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\beta\), поэтому все её общие точки со сферой лежат на большой окружности, а с этой окружностью у неё только одна общая точка \(B\). Если прямая имеет со сферой только одну общую точку, то эта прямая является касательной к данной сфере; значит, прямая \(AB\) касается сферы. Так же касается сферы и прямая \(AC\).

Через прямую \(OA\) проходит бесконечно много плоскостей \(\beta\), и в разных плоскостях получаются разные касательные: центр \(O\) не лежит на прямой \(AB\) (он удалён от неё на \(OB = r\)), поэтому плоскость \(\beta\) — единственная плоскость, проходящая через прямую \(AB\) и точку \(O\). Значит, через точку \(A\) можно провести бесконечно много прямых, касающихся сферы.

Ответ: 1) бесконечно много прямых; 2) бесконечно много прямых.