Страница 124 номер 13.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
шар с центром \(O\) и радиусом \(R\), \(AB\) — диаметр шара
плоскость \(\beta\) проходит через точку \(A\)
угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен \(\alpha\), \(\alpha \ne 90^\circ\)

Найти: площадь сечения шара плоскостью \(\beta\).

Решение: Угол между прямой и плоскостью не больше \(90^\circ\), поэтому \(0^\circ \leqslant \alpha < 90^\circ\).

Пусть \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Тогда прямая \(AB\) — наклонная к плоскости \(\beta\) и пересекает её только в точке \(A\), поэтому центр \(O\) (середина диаметра \(AB\)) не лежит в плоскости \(\beta\). Опустим из точки \(O\) перпендикуляр \(OO_1\) на плоскость \(\beta\). Отрезок \(O_1A\) — проекция отрезка \(OA\) на плоскость \(\beta\), поэтому угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) — это угол \(OAO_1\): \(\angle OAO_1 = \alpha\).

Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\) (\(\angle OO_1A = 90^\circ\), \(OA = R\)): \(OO_1 = R\sin\alpha\), \(O_1A = R\cos\alpha\). Расстояние от центра шара до плоскости \(\beta\) равно \(R\sin\alpha < R\), поэтому сечение шара плоскостью \(\beta\) — круг с центром \(O_1\). Точка \(A\) лежит на поверхности шара и в плоскости \(\beta\), то есть на окружности, ограничивающей этот круг; значит, радиус круга равен \(O_1A = R\cos\alpha\), а площадь сечения равна \[S = \pi \cdot O_1A^2 = \pi R^2\cos^2\alpha.\]

Если \(\alpha = 0^\circ\), то прямая \(AB\) параллельна плоскости \(\beta\) или лежит в ней; так как точка \(A\) принадлежит плоскости \(\beta\), прямая \(AB\) лежит в этой плоскости. Тогда плоскость \(\beta\) проходит через центр \(O\) и пересекает шар по большому кругу радиуса \(R\), площадь которого \(\pi R^2 = \pi R^2\cos^2 0^\circ\), — та же формула.

Ответ: \(\pi R^2\cos^2\alpha\).