Страница 123 номер 13.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку: 1) принадлежащую этой сфере; 2) расположенную вне сферы?
1) Пусть точка \(A\) принадлежит сфере с центром \(O\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(A\) перпендикулярно радиусу \(OA\), касается сферы: если плоскость, проходящая через конец радиуса, отличного от центра сферы, перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной плоскостью к данной сфере.
Другой касательной плоскости, проходящей через точку \(A\), нет. Такая плоскость имеет со сферой общую точку \(A\), а общая точка у касательной плоскости со сферой одна, поэтому \(A\) — точка касания. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то есть прямой \(OA\), а через точку \(A\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная прямой \(OA\), — плоскость \(\alpha\).
2) Пусть точка \(A\) расположена вне сферы с центром \(O\) и радиусом \(r\): \(OA > r\). Проведём через прямую \(OA\) произвольную плоскость \(\beta\). Она проходит через центр сферы и пересекает сферу по большой окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\); точка \(A\) лежит вне этой окружности, поэтому из неё можно провести касательную \(AB\) к окружности (\(B\) — точка касания), и \(OB \perp AB\). Плоскость \(\gamma\), проходящая через точку \(B\) перпендикулярно радиусу \(OB\), является касательной плоскостью к сфере. Прямая \(AB\) проходит через точку \(B\) и перпендикулярна прямой \(OB\), поэтому лежит в плоскости \(\gamma\). Значит, касательная плоскость \(\gamma\) проходит через точку \(A\).
Через прямую \(OA\) проходит бесконечно много плоскостей \(\beta\). Точка \(B\) не лежит на прямой \(OA\) (\(\angle OBA = 90^\circ\)), поэтому плоскость \(\beta\) — единственная плоскость, проходящая через прямую \(OA\) и точку \(B\), и разные плоскости \(\beta\) дают разные точки касания \(B\). Разным точкам касания соответствуют разные касательные плоскости \(\gamma\): у касательной плоскости со сферой только одна общая точка. Значит, через точку \(A\) можно провести бесконечно много плоскостей, касающихся сферы.
Ответ: 1) одну плоскость; 2) бесконечно много плоскостей.
Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку: 1) принадлежащую этой сфере; 2) расположенную вне сферы?
1) Пусть точка \(A\) принадлежит сфере с центром \(O\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(A\) перпендикулярно радиусу \(OA\), касается сферы: если плоскость, проходящая через конец радиуса, отличного от центра сферы, перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной плоскостью к данной сфере.
Другой касательной плоскости, проходящей через точку \(A\), нет. Такая плоскость имеет со сферой общую точку \(A\), а общая точка у касательной плоскости со сферой одна, поэтому \(A\) — точка касания. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то есть прямой \(OA\), а через точку \(A\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная прямой \(OA\), — плоскость \(\alpha\).
2) Пусть точка \(A\) расположена вне сферы с центром \(O\) и радиусом \(r\): \(OA > r\). Проведём через прямую \(OA\) произвольную плоскость \(\beta\). Она проходит через центр сферы и пересекает сферу по большой окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\); точка \(A\) лежит вне этой окружности, поэтому из неё можно провести касательную \(AB\) к окружности (\(B\) — точка касания), и \(OB \perp AB\). Плоскость \(\gamma\), проходящая через точку \(B\) перпендикулярно радиусу \(OB\), является касательной плоскостью к сфере: если плоскость, проходящая через конец радиуса, отличного от центра сферы, перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной плоскостью к данной сфере. Прямая \(AB\) проходит через точку \(B\) и перпендикулярна прямой \(OB\), поэтому лежит в плоскости \(\gamma\). Значит, касательная плоскость \(\gamma\) проходит через точку \(A\).
Через прямую \(OA\) проходит бесконечно много плоскостей \(\beta\). Точка \(B\) не лежит на прямой \(OA\) (\(\angle OBA = 90^\circ\)), поэтому плоскость \(\beta\) — единственная плоскость, проходящая через прямую \(OA\) и точку \(B\), и разные плоскости \(\beta\) дают разные точки касания \(B\). Разным точкам касания соответствуют разные касательные плоскости \(\gamma\): у касательной плоскости со сферой только одна общая точка. Значит, через точку \(A\) можно провести бесконечно много плоскостей, касающихся сферы.
Ответ: 1) одну плоскость; 2) бесконечно много плоскостей.
