Страница 153 номер 16.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} xyz = -6, \\ xy + xz + yz = 1, \\ \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}. \end{cases}\] Из первого уравнения \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), \(z \ne 0\), и \(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{z + x + y}{xyz} = \frac{x + y + z}{-6}\), поэтому третье уравнение равносильно уравнению \(\frac{x + y + z}{-6} = -\frac{2}{3}\), то есть \(x + y + z = 4\).
Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) имеет корни \(x\), \(y\) и \(z\), и \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 4t^2 + t + 6.\] Число \(-1\) — корень этого многочлена: \((-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) + 6 = 0\), и \[\begin{aligned} &t^3 - 4t^2 + t + 6 = t^2(t + 1) - 5t(t + 1) + 6(t + 1) = {} \\ &= (t + 1)(t^2 - 5t + 6) = (t + 1)(t - 2)(t - 3). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(2\), \(3\), взятые в некотором порядке.
Обратно, если \(x\), \(y\), \(z\) — числа \(-1\), \(2\), \(3\) в любом порядке, то \(xyz = -6\), \(xy + xz + yz = -2 - 3 + 6 = 1\) и \(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{x + y + z}{xyz} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}\). Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(2\), \(3\) в разном порядке.
2) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = -1, \\ x^3 + y^3 + z^3 = -25, \\ xy + xz + yz = -5. \end{cases}\] Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) имеет корни \(x\), \(y\) и \(z\), и с учётом первого и третьего уравнений \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 + t^2 - 5t - xyz.\] Так как \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(1 = x^2 + y^2 + z^2 - 10\), откуда \(x^2 + y^2 + z^2 = 11\). Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P\): \[\begin{aligned} x^3 + x^2 - 5x - xyz &= 0, \\ y^3 + y^2 - 5y - xyz &= 0, \\ z^3 + z^2 - 5z - xyz &= 0. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} (x^3 + y^3 + z^3) + (x^2 + y^2 + z^2) - 5(x + y + z) - 3xyz &= 0; \\ -25 + 11 + 5 - 3xyz &= 0; \\ xyz &= -3. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &P(t) = t^3 + t^2 - 5t + 3 = t^2(t - 1) + 2t(t - 1) - 3(t - 1) = {} \\ &= (t - 1)(t^2 + 2t - 3) = (t - 1)^2(t + 3). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(1\), \(1\), \(-3\), взятые в некотором порядке. Обратно, для таких чисел \(x + y + z = -1\), \(x^3 + y^3 + z^3 = 1 + 1 - 27 = -25\), \(xy + xz + yz = 1 - 3 - 3 = -5\). Значит, решения системы — три тройки, в которых одно из чисел равно \(-3\), а два других равны \(1\).
Ответ: 1) \((-1;\ 2;\ 3)\), \((-1;\ 3;\ 2)\), \((2;\ -1;\ 3)\), \((2;\ 3;\ -1)\), \((3;\ -1;\ 2)\), \((3;\ 2;\ -1)\); 2) \((-3;\ 1;\ 1)\), \((1;\ -3;\ 1)\), \((1;\ 1;\ -3)\).
1) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} xyz = -6, \\ xy + xz + yz = 1, \\ \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}. \end{cases}\] Из первого уравнения \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), \(z \ne 0\). Приведём дроби третьего уравнения к общему знаменателю \(xyz\): \(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{z + x + y}{xyz} = \frac{x + y + z}{-6}\). Поэтому третье уравнение равносильно уравнению \(\frac{x + y + z}{-6} = -\frac{2}{3}\), т. е. \(x + y + z = 4\).
Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Рассмотрим многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) с корнями \(x\), \(y\) и \(z\). Раскрыв скобки, получим \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 4t^2 + t + 6.\] Число \(-1\) — корень этого многочлена: \((-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) + 6 = 0\). Разложим многочлен на множители: \[\begin{aligned} &t^3 - 4t^2 + t + 6 = t^2(t + 1) - 5t(t + 1) + 6(t + 1) = {} \\ &= (t + 1)(t^2 - 5t + 6) = (t + 1)(t - 2)(t - 3). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(2\), \(3\), взятые в некотором порядке.
Обратно, если \(x\), \(y\), \(z\) — числа \(-1\), \(2\), \(3\) в любом порядке, то \(xyz = -6\), \(xy + xz + yz = -2 - 3 + 6 = 1\) и \(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{x + y + z}{xyz} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}\), т. е. все три уравнения выполняются. Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(2\), \(3\) в разном порядке.
2) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = -1, \\ x^3 + y^3 + z^3 = -25, \\ xy + xz + yz = -5. \end{cases}\] Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Рассмотрим многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) с корнями \(x\), \(y\) и \(z\). Раскрыв скобки и учитывая первое и третье уравнения, получим \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 + t^2 - 5t - xyz.\] Найдём \(xyz\). Поскольку \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(1 = x^2 + y^2 + z^2 - 10\), откуда \(x^2 + y^2 + z^2 = 11\). Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P\), поэтому \[\begin{aligned} x^3 + x^2 - 5x - xyz &= 0, \\ y^3 + y^2 - 5y - xyz &= 0, \\ z^3 + z^2 - 5z - xyz &= 0. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} (x^3 + y^3 + z^3) + (x^2 + y^2 + z^2) - 5(x + y + z) - 3xyz &= 0; \\ -25 + 11 + 5 - 3xyz &= 0; \\ xyz &= -3. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &P(t) = t^3 + t^2 - 5t + 3 = t^2(t - 1) + 2t(t - 1) - 3(t - 1) = {} \\ &= (t - 1)(t^2 + 2t - 3) = (t - 1)^2(t + 3). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(1\), \(1\), \(-3\), взятые в некотором порядке. Обратно, для таких чисел \(x + y + z = -1\), \(x^3 + y^3 + z^3 = 1 + 1 - 27 = -25\), \(xy + xz + yz = 1 - 3 - 3 = -5\). Значит, решения системы — три тройки, в которых одно из чисел равно \(-3\), а два других равны \(1\).
Ответ: 1) \((-1;\ 2;\ 3)\), \((-1;\ 3;\ 2)\), \((2;\ -1;\ 3)\), \((2;\ 3;\ -1)\), \((3;\ -1;\ 2)\), \((3;\ 2;\ -1)\); 2) \((-3;\ 1;\ 1)\), \((1;\ -3;\ 1)\), \((1;\ 1;\ -3)\).
