Страница 154 номер 16.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
О действительных числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \(x + y + z = 5\), \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\). Докажите, что \(4 \le xyz \le \frac{112}{27}\).
Обозначим \(q = xy + xz + yz\), \(r = xyz\). Так как \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(25 = 9 + 2q\), откуда \(q = 8\).
Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \((t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - 5t^2 + 8t - r\), то есть действительные корни уравнения \(f(t) = r\), где \(f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t\).
Производная \(f'(t) = 3t^2 - 10t + 8 = (3t - 4)(t - 2)\) положительна на промежутках \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right)\) и \((2;\ +\infty)\) и отрицательна на промежутке \(\left(\frac{4}{3};\ 2\right)\), поэтому функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right]\), убывает на промежутке \(\left[\frac{4}{3};\ 2\right]\) и возрастает на промежутке \([2;\ +\infty)\). \[\begin{aligned} f\left(\frac{4}{3}\right) &= \frac{64}{27} - \frac{80}{9} + \frac{32}{3} = \frac{64 - 240 + 288}{27} = \frac{112}{27}; \\ f(2) &= 8 - 20 + 16 = 4. \end{aligned}\] Следовательно, \(f(t) \leqslant \frac{112}{27}\) при \(t \leqslant 2\) и \(f(t) \geqslant 4\) при \(t \geqslant \frac{4}{3}\).
Предположим, что \(r > \frac{112}{27}\). Тогда при \(t \leqslant 2\) выполняется неравенство \(f(t) \leqslant \frac{112}{27} < r\), и все корни уравнения \(f(t) = r\) лежат на промежутке \((2;\ +\infty)\), где функция \(f\) возрастает; значит, уравнение имеет не более одного корня. Тогда \(x = y = z\), и из условия \(3x = 5\) и \(3x^2 = 9\), то есть \(x = \frac{5}{3}\) и \(x^2 = 3\); но \(\left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \ne 3\) — противоречие.
Предположим, что \(r < 4\). Тогда при \(t \geqslant \frac{4}{3}\) выполняется неравенство \(f(t) \geqslant 4 > r\), и все корни уравнения \(f(t) = r\) лежат на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right)\), где функция \(f\) возрастает. Уравнение имеет не более одного корня, и снова \(x = y = z\) — то же противоречие.
Значит, \(4 \leqslant r \leqslant \frac{112}{27}\), то есть \(4 \leqslant xyz \leqslant \frac{112}{27}\).
Ответ: доказано: \(4 \leqslant xyz \leqslant \frac{112}{27}\).
О действительных числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \(x + y + z = 5\), \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\). Докажите, что \(4 \le xyz \le \frac{112}{27}\).
Обозначим \(q = xy + xz + yz\), \(r = xyz\). Поскольку \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(25 = 9 + 2q\), откуда \(q = 8\).
Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \((t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - 5t^2 + 8t - r\). Значит, каждое из них — действительный корень уравнения \(f(t) = r\), где \(f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t\).
Исследуем функцию \(f\). Её производная \(f'(t) = 3t^2 - 10t + 8 = (3t - 4)(t - 2)\) положительна на промежутках \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right)\) и \((2;\ +\infty)\) и отрицательна на промежутке \(\left(\frac{4}{3};\ 2\right)\). Поэтому функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right]\), убывает на промежутке \(\left[\frac{4}{3};\ 2\right]\) и возрастает на промежутке \([2;\ +\infty)\). Найдём значения функции в точках \(\frac{4}{3}\) и \(2\): \[\begin{aligned} f\left(\frac{4}{3}\right) &= \frac{64}{27} - \frac{80}{9} + \frac{32}{3} = \frac{64 - 240 + 288}{27} = \frac{112}{27}; \\ f(2) &= 8 - 20 + 16 = 4. \end{aligned}\] Следовательно, \(f(t) \leqslant \frac{112}{27}\) при \(t \leqslant 2\) и \(f(t) \geqslant 4\) при \(t \geqslant \frac{4}{3}\).
Предположим, что \(r > \frac{112}{27}\). Тогда при \(t \leqslant 2\) выполняется неравенство \(f(t) \leqslant \frac{112}{27} < r\), и все корни уравнения \(f(t) = r\) лежат на промежутке \((2;\ +\infty)\). На этом промежутке функция \(f\) возрастает, поэтому каждое своё значение принимает не более одного раза, и уравнение \(f(t) = r\) имеет не более одного корня. Тогда \(x = y = z\), и из условия \(3x = 5\) и \(3x^2 = 9\), т. е. \(x = \frac{5}{3}\) и \(x^2 = 3\); но \(\left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \ne 3\) — противоречие.
Предположим, что \(r < 4\). Тогда при \(t \geqslant \frac{4}{3}\) выполняется неравенство \(f(t) \geqslant 4 > r\), и все корни уравнения \(f(t) = r\) лежат на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{4}{3}\right)\), где функция \(f\) возрастает. Уравнение имеет не более одного корня, и снова \(x = y = z\) — то же противоречие.
Значит, \(4 \leqslant r \leqslant \frac{112}{27}\), т. е. \(4 \leqslant xyz \leqslant \frac{112}{27}\).
Ответ: доказано: \(4 \leqslant xyz \leqslant \frac{112}{27}\).
