Страница 153 номер 16.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Умножим многочлен \(z^8 - z^6 + z^4 - z^2 + 1\) на \(z^2 + 1\): \[\begin{aligned} &(z^2 + 1)(z^8 - z^6 + z^4 - z^2 + 1) = {} \\ &= z^{10} - z^8 + z^6 - z^4 + z^2 + z^8 - z^6 + z^4 - z^2 + 1 = z^{10} + 1. \end{aligned}\] Умножив обе части данного уравнения на \(z^2 + 1\), получим уравнение \(z^{10} + 1 = 0\). Множитель \(z^2 + 1\) равен нулю только при \(z = i\) и \(z = -i\); при остальных \(z\) эти уравнения равносильны. Числа \(i\) и \(-i\) — корни уравнения \(z^{10} + 1 = 0\), но не корни данного: при \(z^2 = -1\) имеем \(z^4 = 1\), \(z^6 = -1\), \(z^8 = 1\), и левая часть данного уравнения равна \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\). Значит, корни данного уравнения — все корни уравнения \(z^{10} = -1\), кроме чисел \(i\) и \(-i\).

Корни десятой степени из числа \(-1 = \cos \pi + i\sin \pi\) находим по формуле корней \(n\)-й степени: \[\omega_k = \cos \frac{\pi + 2\pi k}{10} + i\sin \frac{\pi + 2\pi k}{10},\ \text{где}\ k \in \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\}.\] Эти десять чисел попарно различны. Число \(i = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\) получается при \(\frac{\pi + 2\pi k}{10} = \frac{\pi}{2}\), т. е. при \(k = 2\); число \(-i = \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}\) — при \(\frac{\pi + 2\pi k}{10} = \frac{3\pi}{2}\), т. е. при \(k = 7\). Эти два значения \(k\) исключаем.

Ответ: \(\cos \frac{\pi + 2\pi k}{10} + i\sin \frac{\pi + 2\pi k}{10}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9\}\).