Страница 154 номер 16.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Целые числа \(a\), \(b\) и \(c\) таковы, что каждое из чисел \(a + b + c\) и \(a^{2} + b^{2} + c^{2}\) делится нацело на нечётное число \(n\). Докажите, что число \(a^{5} + b^{5} + c^{5}\) также делится нацело на число \(n\).
Обозначим \(p = a + b + c\), \(q = ab + bc + ca\), \(r = abc\) — это целые числа. Из равенства \(p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2q\) получаем \(2q = p^2 - (a^2 + b^2 + c^2)\); числа \(p^2\) и \(a^2 + b^2 + c^2\) делятся нацело на \(n\), поэтому и \(2q\) делится на \(n\). Число \(n\) нечётное, поэтому числа \(2\) и \(n\) взаимно простые, и \(q\) делится на \(n\).
Числа \(a\), \(b\) и \(c\) — корни многочлена \((t - a)(t - b)(t - c) = t^3 - pt^2 + qt - r\), а значит, и уравнения \(t^2(t^3 - pt^2 + qt - r) = 0\), то есть уравнения \[t^5 = pt^4 - qt^3 + rt^2.\] При \(t = a\), \(t = b\) и \(t = c\) \[\begin{aligned} a^5 &= pa^4 - qa^3 + ra^2, \\ b^5 &= pb^4 - qb^3 + rb^2, \\ c^5 &= pc^4 - qc^3 + rc^2. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} &a^5 + b^5 + c^5 = {} \\ &= p(a^4 + b^4 + c^4) - q(a^3 + b^3 + c^3) + r(a^2 + b^2 + c^2). \end{aligned}\] Каждое слагаемое правой части делится нацело на \(n\): на \(n\) делится один из его множителей (\(p\) в первом слагаемом, \(q\) во втором и \(a^2 + b^2 + c^2\) в третьем), а остальные множители — целые числа. Значит, число \(a^5 + b^5 + c^5\) делится нацело на \(n\).
Ответ: доказано: если \(a + b + c\) и \(a^2 + b^2 + c^2\) делятся нацело на нечётное число \(n\), то и \(a^5 + b^5 + c^5\) делится нацело на \(n\).
Целые числа \(a\), \(b\) и \(c\) таковы, что каждое из чисел \(a + b + c\) и \(a^{2} + b^{2} + c^{2}\) делится нацело на нечётное число \(n\). Докажите, что число \(a^{5} + b^{5} + c^{5}\) также делится нацело на число \(n\).
Обозначим \(p = a + b + c\), \(q = ab + bc + ca\), \(r = abc\) — это целые числа. Из равенства \(p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2q\) получаем \(2q = p^2 - (a^2 + b^2 + c^2)\). Числа \(p^2\) и \(a^2 + b^2 + c^2\) делятся нацело на \(n\), поэтому и \(2q\) делится на \(n\). Число \(n\) нечётное, поэтому числа \(2\) и \(n\) взаимно простые, и из делимости произведения \(2q\) на \(n\) следует, что \(q\) делится на \(n\).
Числа \(a\), \(b\) и \(c\) — корни многочлена \((t - a)(t - b)(t - c) = t^3 - pt^2 + qt - r\), а значит, и корни уравнения \(t^2(t^3 - pt^2 + qt - r) = 0\), т. е. уравнения \[t^5 = pt^4 - qt^3 + rt^2.\] Подставим в это уравнение вместо \(t\) числа \(a\), \(b\) и \(c\): \[\begin{aligned} a^5 &= pa^4 - qa^3 + ra^2, \\ b^5 &= pb^4 - qb^3 + rb^2, \\ c^5 &= pc^4 - qc^3 + rc^2. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} &a^5 + b^5 + c^5 = {} \\ &= p(a^4 + b^4 + c^4) - q(a^3 + b^3 + c^3) + r(a^2 + b^2 + c^2). \end{aligned}\] Каждое слагаемое правой части делится нацело на \(n\), потому что на \(n\) делится один из его множителей: \(p\) в первом слагаемом, \(q\) во втором и \(a^2 + b^2 + c^2\) в третьем, а остальные множители — целые числа. Значит, число \(a^5 + b^5 + c^5\) делится нацело на \(n\).
Ответ: доказано: если \(a + b + c\) и \(a^2 + b^2 + c^2\) делятся нацело на нечётное число \(n\), то и \(a^5 + b^5 + c^5\) делится нацело на \(n\).
