Страница 154 номер 16.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.
Пусть \(P\) — многочлен нечётной степени \(n\) с действительными коэффициентами. Его можно разложить на линейные или квадратичные множители с действительными коэффициентами. Это доказывается индукцией по степени: по основной теореме алгебры многочлен имеет корень \(z_0\); действительный корень даёт множитель \(z - z_0\), а невещественный корень \(z_0\) вместе с корнем \(\overline{z}_0\) (коэффициенты многочлена действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень) даёт множитель \(z^2 - (z_0 + \overline{z}_0)z + z_0\overline{z}_0\) с действительными коэффициентами; частное в обоих случаях — многочлен с действительными коэффициентами меньшей степени.
Степень многочлена \(P\) равна сумме степеней множителей разложения. Если бы все множители были квадратичными, степень \(n\) была бы чётным числом — противоречие. Значит, среди множителей есть линейный множитель \(kz + m\), где \(k\) и \(m\) — действительные числа, \(k \ne 0\). При \(z = -\frac{m}{k}\) он, а вместе с ним и \(P(z)\), обращается в нуль, то есть \(-\frac{m}{k}\) — действительный корень многочлена \(P\).
Ответ: доказано: каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.
Докажите, что каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.
Пусть \(P\) — многочлен нечётной степени \(n\) с действительными коэффициентами. Его можно разложить на линейные или квадратичные множители с действительными коэффициентами. Это доказывается методом математической индукции по степени: по основной теореме алгебры многочлен имеет корень \(z_0\); действительный корень даёт множитель \(z - z_0\), а невещественный корень \(z_0\) вместе с корнем \(\overline{z}_0\) (коэффициенты многочлена действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень) даёт множитель \(z^2 - (z_0 + \overline{z}_0)z + z_0\overline{z}_0\) с действительными коэффициентами; частное в обоих случаях — многочлен с действительными коэффициентами меньшей степени.
Степень многочлена \(P\) равна сумме степеней множителей разложения. Если бы среди множителей не было ни одного линейного, то каждый из них имел бы степень 2 и степень \(n\) была бы чётным числом — противоречие. Значит, среди множителей есть линейный множитель \(kz + m\), где \(k\) и \(m\) — действительные числа, \(k \ne 0\). При \(z = -\frac{m}{k}\) этот множитель, а вместе с ним и \(P(z)\), обращается в нуль. Значит, \(-\frac{m}{k}\) — действительный корень многочлена \(P\).
Ответ: доказано: каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.
