Страница 153 номер 16.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = 2, \\ xy + xz + yz = -1, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}. \end{cases}\] Из третьего уравнения \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), \(z \ne 0\), и \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + xz + xy}{xyz} = -\frac{1}{xyz}\), поэтому третье уравнение равносильно уравнению \(-\frac{1}{xyz} = \frac{1}{2}\), то есть \(xyz = -2\).
Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) имеет корни \(x\), \(y\) и \(z\), и \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 2t^2 - t + 2.\] Отсюда \[\begin{aligned} &t^3 - 2t^2 - t + 2 = t^2(t - 2) - (t - 2) = {} \\ &= (t - 2)(t^2 - 1) = (t - 2)(t - 1)(t + 1). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(1\), \(2\), взятые в некотором порядке.
Обратно, если \(x\), \(y\), \(z\) — числа \(-1\), \(1\), \(2\) в любом порядке, то \(x + y + z = 2\), \(xy + xz + yz = -1 - 2 + 2 = -1\), \(xyz = -2\) и \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + xz + yz}{xyz} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\). Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(1\), \(2\) в разном порядке.
2) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = 2, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\ x^3 + y^3 + z^3 = 8. \end{cases}\] Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Так как \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(4 = 6 + 2(xy + xz + yz)\), откуда \(xy + xz + yz = -1\). Многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) имеет корни \(x\), \(y\) и \(z\), и \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 2t^2 - t - xyz.\] Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P\): \[\begin{aligned} x^3 - 2x^2 - x - xyz &= 0, \\ y^3 - 2y^2 - y - xyz &= 0, \\ z^3 - 2z^2 - z - xyz &= 0. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} (x^3 + y^3 + z^3) - 2(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z) - 3xyz &= 0; \\ 8 - 12 - 2 - 3xyz &= 0; \\ xyz &= -2. \end{aligned}\] Тогда \(P(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2 = t^2(t - 2) - (t - 2) = (t - 2)(t - 1)(t + 1)\). Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(1\), \(2\), взятые в некотором порядке. Обратно, для таких чисел \(x + y + z = 2\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 1 + 1 + 4 = 6\), \(x^3 + y^3 + z^3 = -1 + 1 + 8 = 8\). Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(1\), \(2\) в разном порядке.
Ответ: 1) \((-1;\ 1;\ 2)\), \((-1;\ 2;\ 1)\), \((1;\ -1;\ 2)\), \((1;\ 2;\ -1)\), \((2;\ -1;\ 1)\), \((2;\ 1;\ -1)\); 2) \((-1;\ 1;\ 2)\), \((-1;\ 2;\ 1)\), \((1;\ -1;\ 2)\), \((1;\ 2;\ -1)\), \((2;\ -1;\ 1)\), \((2;\ 1;\ -1)\).
1) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = 2, \\ xy + xz + yz = -1, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}. \end{cases}\] Из третьего уравнения \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), \(z \ne 0\). Приведём дроби третьего уравнения к общему знаменателю: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + xz + xy}{xyz} = -\frac{1}{xyz}\). Поэтому третье уравнение равносильно уравнению \(-\frac{1}{xyz} = \frac{1}{2}\), т. е. \(xyz = -2\).
Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Рассмотрим многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) с корнями \(x\), \(y\) и \(z\). Раскрыв скобки, получим \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 2t^2 - t + 2.\] Разложим многочлен на множители: \[\begin{aligned} &t^3 - 2t^2 - t + 2 = t^2(t - 2) - (t - 2) = {} \\ &= (t - 2)(t^2 - 1) = (t - 2)(t - 1)(t + 1). \end{aligned}\] Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(1\), \(2\), взятые в некотором порядке.
Обратно, если \(x\), \(y\), \(z\) — числа \(-1\), \(1\), \(2\) в любом порядке, то \(x + y + z = 2\), \(xy + xz + yz = -1 - 2 + 2 = -1\), \(xyz = -2\) и \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + xz + yz}{xyz} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\), т. е. все три уравнения выполняются. Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(1\), \(2\) в разном порядке.
2) Решим в действительных числах систему \[\begin{cases} x + y + z = 2, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\ x^3 + y^3 + z^3 = 8. \end{cases}\] Пусть \((x;\ y;\ z)\) — решение системы. Поскольку \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)\), то \(4 = 6 + 2(xy + xz + yz)\), откуда \(xy + xz + yz = -1\). Рассмотрим многочлен \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\) с корнями \(x\), \(y\) и \(z\). Раскрыв скобки, получим \[P(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = t^3 - 2t^2 - t - xyz.\] Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P\), поэтому \[\begin{aligned} x^3 - 2x^2 - x - xyz &= 0, \\ y^3 - 2y^2 - y - xyz &= 0, \\ z^3 - 2z^2 - z - xyz &= 0. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим \[\begin{aligned} (x^3 + y^3 + z^3) - 2(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z) - 3xyz &= 0; \\ 8 - 12 - 2 - 3xyz &= 0; \\ xyz &= -2. \end{aligned}\] Тогда \(P(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2 = t^2(t - 2) - (t - 2) = (t - 2)(t - 1)(t + 1)\). Разложение многочлена на линейные множители единственно, поэтому \(x\), \(y\), \(z\) — это числа \(-1\), \(1\), \(2\), взятые в некотором порядке. Обратно, для таких чисел \(x + y + z = 2\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 1 + 1 + 4 = 6\), \(x^3 + y^3 + z^3 = -1 + 1 + 8 = 8\). Значит, решения системы — все тройки, составленные из чисел \(-1\), \(1\), \(2\) в разном порядке.
Ответ: 1) \((-1;\ 1;\ 2)\), \((-1;\ 2;\ 1)\), \((1;\ -1;\ 2)\), \((1;\ 2;\ -1)\), \((2;\ -1;\ 1)\), \((2;\ 1;\ -1)\); 2) \((-1;\ 1;\ 2)\), \((-1;\ 2;\ 1)\), \((1;\ -1;\ 2)\), \((1;\ 2;\ -1)\), \((2;\ -1;\ 1)\), \((2;\ 1;\ -1)\).
