Страница 153 номер 16.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6} = 0\).
\[\begin{aligned} &(z - 1)(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6) = {} \\ &= (z + z^2 + \ldots + z^7) - (1 + z + \ldots + z^6) = z^7 - 1. \end{aligned}\] При \(z \ne 1\) множитель \(z - 1\) отличен от нуля, и данное уравнение равносильно уравнению \(z^7 - 1 = 0\). Число \(1\) — корень уравнения \(z^7 - 1 = 0\), но не корень данного уравнения: при \(z = 1\) его левая часть равна \(7\). Значит, корни данного уравнения — все корни уравнения \(z^7 = 1\), кроме числа \(1\).
Корни седьмой степени из числа \(1 = \cos 0 + i\sin 0\): \[e_k = \cos \frac{2\pi k}{7} + i\sin \frac{2\pi k}{7},\ \text{где}\ k \in \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\}.\] Эти семь чисел попарно различны; при \(k = 0\) получаем \(e_0 = 1\) — это число исключаем.
Ответ: \(\cos \frac{2\pi k}{7} + i\sin \frac{2\pi k}{7}\), где \(k \in \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Решите уравнение \(1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6} = 0\).
Умножим многочлен \(1 + z + z^2 + \ldots + z^6\) на \(z - 1\): \[\begin{aligned} &(z - 1)(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6) = {} \\ &= (z + z^2 + \ldots + z^7) - (1 + z + \ldots + z^6) = z^7 - 1. \end{aligned}\] Умножив обе части данного уравнения на \(z - 1\), получим уравнение \(z^7 - 1 = 0\). При \(z \ne 1\) множитель \(z - 1\) отличен от нуля, поэтому для таких \(z\) эти уравнения равносильны. Число \(1\) — корень уравнения \(z^7 - 1 = 0\), но не корень данного уравнения: при \(z = 1\) его левая часть равна \(7\). Значит, корни данного уравнения — все корни уравнения \(z^7 = 1\), кроме числа \(1\).
Корни седьмой степени из числа \(1 = \cos 0 + i\sin 0\) находим по формуле корней \(n\)-й степени: \[e_k = \cos \frac{2\pi k}{7} + i\sin \frac{2\pi k}{7},\ \text{где}\ k \in \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\}.\] Эти семь чисел попарно различны; при \(k = 0\) получаем \(e_0 = 1\) — это число исключаем.
Ответ: \(\cos \frac{2\pi k}{7} + i\sin \frac{2\pi k}{7}\), где \(k \in \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
