Страница 154 номер 16.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Существует ли функция, график которой имеет общую точку с любой параболой вида \(y = ax^{2} + bx + c\)?
Существует, например функция \(y = x^3\).
Пусть \(y = ax^2 + bx + c\) — любая парабола (\(a\), \(b\), \(c\) — действительные числа, \(a \ne 0\)). Графики функций \(y = x^3\) и \(y = ax^2 + bx + c\) имеют общую точку, если уравнение \(x^3 = ax^2 + bx + c\), то есть \(x^3 - ax^2 - bx - c = 0\), имеет действительный корень \(x_0\): тогда точка \((x_0;\ x_0^3)\) лежит на обоих графиках.
Для многочлена \(P(x) = x^3 - ax^2 - bx - c\) по следствию из основной теоремы алгебры \(P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), откуда \(x_1 + x_2 + x_3 = a\). Если число \(x_1\) действительное, то корень найден. Пусть \(x_1 \notin \mathbf{R}\). Коэффициенты многочлена \(P\) действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\) при любом комплексном \(z\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень. Число \(\overline{x}_1 \ne x_1\) — корень многочлена \(P\), поэтому оно равно \(x_2\) или \(x_3\); пусть \(x_2 = \overline{x}_1\). Если \(x_1 = u + vi\), где \(u\) и \(v\) — действительные числа, то \(x_3 = a - (x_1 + \overline{x}_1) = a - 2u\) — действительное число.
Значит, при любых \(a\), \(b\), \(c\) уравнение \(x^3 = ax^2 + bx + c\) имеет действительный корень, и график функции \(y = x^3\) имеет общую точку с любой параболой \(y = ax^2 + bx + c\).
Ответ: да, существует, например \(y = x^3\).
Существует ли функция, график которой имеет общую точку с любой параболой вида \(y = ax^{2} + bx + c\)?
Существует, например функция \(y = x^3\).
Пусть \(y = ax^2 + bx + c\) — любая парабола (\(a\), \(b\), \(c\) — действительные числа, \(a \ne 0\)). Графики функций \(y = x^3\) и \(y = ax^2 + bx + c\) имеют общую точку, если уравнение \(x^3 = ax^2 + bx + c\), т. е. \(x^3 - ax^2 - bx - c = 0\), имеет действительный корень \(x_0\): тогда точка \((x_0;\ x_0^3)\) лежит на обоих графиках.
Докажем, что многочлен \(P(x) = x^3 - ax^2 - bx - c\) имеет действительный корень. По следствию из основной теоремы алгебры \(P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), и по теореме Виета \(x_1 + x_2 + x_3 = a\). Если число \(x_1\) действительное, то корень найден. Пусть \(x_1 \notin \mathbf{R}\). Коэффициенты многочлена \(P\) действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\) при любом комплексном \(z\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень. Число \(\overline{x}_1 \ne x_1\) — корень многочлена \(P\), поэтому оно равно \(x_2\) или \(x_3\); пусть \(x_2 = \overline{x}_1\). Если \(x_1 = u + vi\), где \(u\) и \(v\) — действительные числа, то \(x_3 = a - (x_1 + \overline{x}_1) = a - 2u\) — действительное число.
Значит, при любых \(a\), \(b\), \(c\) уравнение \(x^3 = ax^2 + bx + c\) имеет действительный корень, и график функции \(y = x^3\) имеет общую точку с любой параболой \(y = ax^2 + bx + c\).
Ответ: да, существует, например \(y = x^3\).
