Страница 153 номер 16.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Известно, что число \(z = 1 + i\) является корнем уравнения \(z^{4} - 5z^{3} + 13z^{2} - 16z + 10 = 0\). Решите это уравнение.
Коэффициенты многочлена \(P(z) = z^4 - 5z^3 + 13z^2 - 16z + 10\) действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень. Значит, кроме числа \(z_1 = 1 + i\), корнем уравнения является и число \(z_2 = 1 - i\).
Многочлен \(P\) делится на \(z - z_1\): \(P(z) = (z - z_1)Q(z)\). Так как \(0 = P(z_2) = (z_2 - z_1)Q(z_2)\) и \(z_2 - z_1 = -2i \ne 0\), то \(Q(z_2) = 0\) и \(Q(z) = (z - z_2)R(z)\). Значит, \(P(z) = (z - z_1)(z - z_2)R(z)\), то есть многочлен \(P\) делится на \[(z - (1 + i))(z - (1 - i)) = (z - 1)^2 - i^2 = z^2 - 2z + 2.\] Отсюда \[\begin{aligned} &z^4 - 5z^3 + 13z^2 - 16z + 10 = {} \\ &= z^2(z^2 - 2z + 2) - 3z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) = {} \\ &= (z^2 - 2z + 2)(z^2 - 3z + 5). \end{aligned}\] Уравнение \(z^2 - 3z + 5 = 0\): \(D = 9 - 20 = -11\), квадратные корни из дискриминанта — числа \(i\sqrt{11}\) и \(-i\sqrt{11}\), поэтому \[\begin{aligned} z_3 &= \frac{3 + i\sqrt{11}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}i; \\ z_4 &= \frac{3 - i\sqrt{11}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2}i. \end{aligned}\]
Ответ: \(1 + i\); \(1 - i\); \(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}i\); \(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2}i\).
Известно, что число \(z = 1 + i\) является корнем уравнения \(z^{4} - 5z^{3} + 13z^{2} - 16z + 10 = 0\). Решите это уравнение.
Коэффициенты многочлена \(P(z) = z^4 - 5z^3 + 13z^2 - 16z + 10\) действительные, поэтому \(P(\overline{z}) = \overline{P(z)}\), и число, сопряжённое корню, — тоже корень. Значит, кроме числа \(z_1 = 1 + i\), корнем уравнения является и число \(z_2 = 1 - i\).
По теореме Безу \(P(z) = (z - z_1)Q(z)\). Поскольку \(0 = P(z_2) = (z_2 - z_1)Q(z_2)\) и \(z_2 - z_1 = -2i \ne 0\), то \(Q(z_2) = 0\), и по теореме Безу \(Q(z) = (z - z_2)R(z)\). Значит, \(P(z) = (z - z_1)(z - z_2)R(z)\), т. е. многочлен \(P\) делится на \[(z - (1 + i))(z - (1 - i)) = (z - 1)^2 - i^2 = z^2 - 2z + 2.\] Выделим этот множитель группировкой: \[\begin{aligned} &z^4 - 5z^3 + 13z^2 - 16z + 10 = {} \\ &= z^2(z^2 - 2z + 2) - 3z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) = {} \\ &= (z^2 - 2z + 2)(z^2 - 3z + 5). \end{aligned}\] Решим уравнение \(z^2 - 3z + 5 = 0\): \(D = 9 - 20 = -11\), числа \(i\sqrt{11}\) и \(-i\sqrt{11}\) — квадратные корни из дискриминанта, поэтому \[\begin{aligned} z_3 &= \frac{3 + i\sqrt{11}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}i; \\ z_4 &= \frac{3 - i\sqrt{11}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2}i. \end{aligned}\]
Ответ: \(1 + i\); \(1 - i\); \(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}i\); \(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2}i\).
