Страница 153 номер 16.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
О действительных числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \(x + y + z\), \(xy + xz + yz\) и \(xyz\) — рациональные числа. Можно ли гарантировать, что среди чисел \(x\), \(y\) и \(z\) есть рациональные?
Гарантировать этого нельзя. Пример — многочлен \(P(t) = t^3 - 3t + 1\) с рациональными коэффициентами.
\(P(-2) = -8 + 6 + 1 = -1\), \(P(0) = 1\), \(P(1) = 1 - 3 + 1 = -1\), \(P(2) = 8 - 6 + 1 = 3\). Функция \(P\) непрерывна и на концах каждого из отрезков \([-2;\ 0]\), \([0;\ 1]\), \([1;\ 2]\) принимает значения разных знаков, поэтому на каждом из интервалов \((-2;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 2)\) у неё есть нуль. Обозначим эти корни \(x\), \(y\), \(z\); они различны, так как интервалы не имеют общих точек. По следствию из основной теоремы алгебры \(P(t) = (t - t_1)(t - t_2)(t - t_3)\) и каждый корень многочлена \(P\) равен одному из чисел \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\); поэтому три различных корня \(x\), \(y\), \(z\) — это и есть числа \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), и \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\). Отсюда \(x + y + z = 0\), \(xy + xz + yz = -3\), \(xyz = -1\) — рациональные числа.
Рациональных корней у многочлена \(P\) нет. Пусть несократимая дробь \(\frac{p}{q}\), где \(p\) — целое, а \(q\) — натуральное число, — его корень. Тогда \(p^3 - 3pq^2 + q^3 = 0\) и \(p^3 = q^2(3p - q)\). Если \(q > 1\), то простой делитель числа \(q\) является делителем числа \(p^3\), а значит, и числа \(p\) — противоречие с несократимостью дроби. Поэтому \(q = 1\), \(p^3 - 3p + 1 = 0\), то есть \(p(3 - p^2) = 1\), и \(p\) — делитель числа 1: \(p = 1\) или \(p = -1\). Но \(P(1) = -1 \ne 0\) и \(P(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 \ne 0\) — противоречие.
Значит, числа \(x\), \(y\), \(z\) иррациональные, хотя числа \(x + y + z\), \(xy + xz + yz\) и \(xyz\) рациональные.
Ответ: нет; например, корни \(x\), \(y\), \(z\) многочлена \(t^3 - 3t + 1\) — иррациональные действительные числа, для которых \(x + y + z = 0\), \(xy + xz + yz = -3\), \(xyz = -1\).
О действительных числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \(x + y + z\), \(xy + xz + yz\) и \(xyz\) — рациональные числа. Можно ли гарантировать, что среди чисел \(x\), \(y\) и \(z\) есть рациональные?
Гарантировать этого нельзя. Приведём пример иррациональных чисел \(x\), \(y\), \(z\), у которых сумма, сумма попарных произведений и произведение рациональны.
Рассмотрим многочлен \(P(t) = t^3 - 3t + 1\) с рациональными коэффициентами.
У многочлена \(P\) три различных действительных корня. Функция \(P\) непрерывна, и \(P(-2) = -8 + 6 + 1 = -1\), \(P(0) = 1\), \(P(1) = 1 - 3 + 1 = -1\), \(P(2) = 8 - 6 + 1 = 3\). На концах каждого из отрезков \([-2;\ 0]\), \([0;\ 1]\), \([1;\ 2]\) функция принимает значения разных знаков, поэтому по первой теореме Больцано — Коши на каждом из интервалов \((-2;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 2)\) у неё есть нуль. Обозначим эти корни \(x\), \(y\), \(z\); они различны, поскольку лежат в интервалах без общих точек. По следствию из основной теоремы алгебры \(P(t) = (t - t_1)(t - t_2)(t - t_3)\), и каждый корень многочлена \(P\) равен одному из чисел \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\); поэтому три различных корня \(x\), \(y\), \(z\) — это и есть числа \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), и \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\). По теореме Виета сумма \(x + y + z = 0\), сумма попарных произведений \(xy + xz + yz = -3\) и произведение \(xyz = -1\) — рациональные числа.
Рациональных корней у многочлена \(P\) нет. Предположим, что несократимая дробь \(\frac{p}{q}\), где \(p\) — целое, а \(q\) — натуральное число, является его корнем. Тогда \(\frac{p^3}{q^3} - \frac{3p}{q} + 1 = 0\), т. е. \(p^3 - 3pq^2 + q^3 = 0\) и \(p^3 = q^2(3p - q)\). Если \(q > 1\), то простой делитель числа \(q\) является делителем числа \(p^3\), а значит, и числа \(p\) — это противоречит несократимости дроби. Поэтому \(q = 1\) и корень — целое число \(p\), для которого \(p^3 - 3p + 1 = 0\), т. е. \(p(3 - p^2) = 1\). Тогда \(p\) — делитель числа 1: \(p = 1\) или \(p = -1\). Но \(P(1) = -1 \ne 0\) и \(P(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 \ne 0\) — противоречие.
Значит, числа \(x\), \(y\), \(z\) иррациональные, хотя числа \(x + y + z\), \(xy + xz + yz\) и \(xyz\) рациональные.
Ответ: нет; например, корни \(x\), \(y\), \(z\) многочлена \(t^3 - 3t + 1\) — иррациональные действительные числа, для которых \(x + y + z = 0\), \(xy + xz + yz = -3\), \(xyz = -1\).
