Страница 154 номер 16.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
О числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \((x + y + z) - 3(xy + xz + yz) + 9xyz = \frac{1}{3}\). Докажите, что по крайней мере одно из этих чисел равно \(\frac{1}{3}\).
Обозначим \(p = x + y + z\), \(q = xy + xz + yz\), \(r = xyz\); по условию \(p - 3q + 9r = \frac{1}{3}\). Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\), и \(P(t) = t^3 - pt^2 + qt - r\). При \(t = \frac{1}{3}\) \[P\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{p}{9} + \frac{q}{3} - r = \frac{1}{27} - \frac{p - 3q + 9r}{9} = \frac{1}{27} - \frac{1}{27} = 0.\] Значит, \(\left(\frac{1}{3} - x\right)\left(\frac{1}{3} - y\right)\left(\frac{1}{3} - z\right) = 0\), и хотя бы одно из чисел \(x\), \(y\), \(z\) равно \(\frac{1}{3}\).
Ответ: доказано: \(\left(\frac{1}{3} - x\right)\left(\frac{1}{3} - y\right)\left(\frac{1}{3} - z\right) = 0\), поэтому хотя бы одно из чисел \(x\), \(y\), \(z\) равно \(\frac{1}{3}\).
О числах \(x\), \(y\) и \(z\) известно, что \((x + y + z) - 3(xy + xz + yz) + 9xyz = \frac{1}{3}\). Докажите, что по крайней мере одно из этих чисел равно \(\frac{1}{3}\).
Обозначим \(p = x + y + z\), \(q = xy + xz + yz\), \(r = xyz\); по условию \(p - 3q + 9r = \frac{1}{3}\). Числа \(x\), \(y\) и \(z\) — корни многочлена \(P(t) = (t - x)(t - y)(t - z)\); раскрыв скобки, получим \(P(t) = t^3 - pt^2 + qt - r\). Вычислим значение многочлена при \(t = \frac{1}{3}\): \[P\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{p}{9} + \frac{q}{3} - r = \frac{1}{27} - \frac{p - 3q + 9r}{9} = \frac{1}{27} - \frac{1}{27} = 0.\] Значит, \(\left(\frac{1}{3} - x\right)\left(\frac{1}{3} - y\right)\left(\frac{1}{3} - z\right) = 0\), поэтому хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. хотя бы одно из чисел \(x\), \(y\), \(z\) равно \(\frac{1}{3}\).
Ответ: доказано: \(\left(\frac{1}{3} - x\right)\left(\frac{1}{3} - y\right)\left(\frac{1}{3} - z\right) = 0\), поэтому хотя бы одно из чисел \(x\), \(y\), \(z\) равно \(\frac{1}{3}\).
