Страница 154 номер 16.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сумма неотрицательных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) равна 1. Докажите, что \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{27}.\]
Обозначим \(q = ab + bc + ca\), \(r = abc\); требуется доказать, что \(q - 2r \leqslant \frac{7}{27}\). Так как \(a + b + c = 1\), при всех \(t\) \[(t - a)(t - b)(t - c) = t^3 - (a + b + c)t^2 + qt - r = t^3 - t^2 + qt - r.\] При \(t = \frac{1}{2}\) \[\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} - b\right)\left(\frac{1}{2} - c\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{q}{2} - r = -\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2}.\] Выражение \(ab + bc + ca - 2abc\) и условие задачи не меняются при перестановке чисел \(a\), \(b\), \(c\).
Случай 1: каждое из чисел \(a\), \(b\), \(c\) не больше \(\frac{1}{2}\). Тогда числа \(\frac{1}{2} - a\), \(\frac{1}{2} - b\), \(\frac{1}{2} - c\) неотрицательные, их сумма равна \(\frac{3}{2} - (a + b + c) = \frac{1}{2}\), а среднее арифметическое — \(\frac{1}{2} : 3 = \frac{1}{6}\). Произведение трёх неотрицательных чисел не больше куба их среднего арифметического: \[\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} - b\right)\left(\frac{1}{2} - c\right) \leqslant \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}.\] Поэтому \[\begin{aligned} -\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2} &\leqslant \frac{1}{216}; \qquad | +\frac{1}{8} \\ \frac{q - 2r}{2} &\leqslant \frac{28}{216}; \qquad | \cdot 2 \\ q - 2r &\leqslant \frac{7}{27}. \end{aligned}\]
Случай 2: одно из чисел больше \(\frac{1}{2}\); можно считать, что \(a > \frac{1}{2}\). Тогда \(b + c = 1 - a < \frac{1}{2}\), и неотрицательные числа \(b\) и \(c\) меньше \(\frac{1}{2}\). Поэтому \(\frac{1}{2} - a < 0\), \(\frac{1}{2} - b > 0\), \(\frac{1}{2} - c > 0\), произведение этих чисел отрицательно и \(-\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2} < 0\), откуда \(q - 2r < \frac{1}{4}\). Так как \(\frac{1}{4} = \frac{27}{108} < \frac{28}{108} = \frac{7}{27}\), то \(q - 2r < \frac{7}{27}\).
В обоих случаях \(ab + bc + ca - 2abc \leqslant \frac{7}{27}\).
Ответ: доказано: если неотрицательные числа \(a\), \(b\), \(c\) таковы, что \(a + b + c = 1\), то \(ab + bc + ca - 2abc \leqslant \frac{7}{27}\).
Сумма неотрицательных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) равна 1. Докажите, что \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{27}.\]
Обозначим \(q = ab + bc + ca\), \(r = abc\); требуется доказать, что \(q - 2r \leqslant \frac{7}{27}\). Поскольку \(a + b + c = 1\), при всех \(t\) выполняется равенство \[(t - a)(t - b)(t - c) = t^3 - (a + b + c)t^2 + qt - r = t^3 - t^2 + qt - r.\] При \(t = \frac{1}{2}\) получаем \[\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} - b\right)\left(\frac{1}{2} - c\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{q}{2} - r = -\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2}.\] Выражение \(ab + bc + ca - 2abc\) и условие задачи не меняются при перестановке чисел \(a\), \(b\), \(c\). Рассмотрим два случая.
Случай 1: каждое из чисел \(a\), \(b\), \(c\) не больше \(\frac{1}{2}\). Тогда числа \(\frac{1}{2} - a\), \(\frac{1}{2} - b\), \(\frac{1}{2} - c\) неотрицательные, а их сумма равна \(\frac{3}{2} - (a + b + c) = \frac{1}{2}\). По неравенству Коши для трёх неотрицательных чисел их произведение не больше куба их среднего арифметического, равного \(\frac{1}{2} : 3 = \frac{1}{6}\): \[\left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{2} - b\right)\left(\frac{1}{2} - c\right) \leqslant \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}.\] Поэтому \[\begin{aligned} -\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2} &\leqslant \frac{1}{216}; \qquad | +\frac{1}{8} \\ \frac{q - 2r}{2} &\leqslant \frac{28}{216}; \qquad | \cdot 2 \\ q - 2r &\leqslant \frac{7}{27}. \end{aligned}\]
Случай 2: одно из чисел больше \(\frac{1}{2}\); можно считать, что \(a > \frac{1}{2}\). Тогда \(b + c = 1 - a < \frac{1}{2}\), и неотрицательные числа \(b\) и \(c\) меньше \(\frac{1}{2}\). Поэтому \(\frac{1}{2} - a < 0\), \(\frac{1}{2} - b > 0\), \(\frac{1}{2} - c > 0\), произведение этих чисел отрицательно, и \(-\frac{1}{8} + \frac{q - 2r}{2} < 0\), откуда \(q - 2r < \frac{1}{4}\). Поскольку \(\frac{1}{4} = \frac{27}{108} < \frac{28}{108} = \frac{7}{27}\), то \(q - 2r < \frac{7}{27}\).
В обоих случаях \(ab + bc + ca - 2abc \leqslant \frac{7}{27}\).
Ответ: доказано: если неотрицательные числа \(a\), \(b\), \(c\) таковы, что \(a + b + c = 1\), то \(ab + bc + ca - 2abc \leqslant \frac{7}{27}\).
