Самостоятельная работа 6 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(y = \dfrac{1}{2x + 1}\).
Схема построения: \[\begin{aligned} &y = \frac{1}{x} \xrightarrow{\text{влево на 1 ед.}} y = \frac{1}{x + 1}; \\ &y = \frac{1}{x + 1} \xrightarrow{\text{сжатие в 2 раза к оси ординат}} y = \frac{1}{2x + 1}. \end{aligned}\]
\(D(y) = \mathbf{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\): прямая \(x = -\dfrac{1}{2}\) — вертикальная асимптота, прямая \(y = 0\) — горизонтальная. График проходит через точку \((0;\ 1)\).
2) \(y = \left|\dfrac{1}{2x + 1}\right|\).
Часть графика пункта 1) с отрицательными ординатами отображаем симметрично относительно оси абсцисс, остальное оставляем без изменений.
Дробь \(\dfrac{1}{2x + 1}\) отрицательна при \(2x + 1 < 0\), то есть при \(x < -\dfrac{1}{2}\): отображается вверх левая ветвь, правая остаётся на месте.
Область определения и асимптоты те же, все значения функции положительны; при \(x = 0\) получаем \(y = 1\).
1) \(y = \sqrt{1 - 3x}\).
Схема построения: \[\begin{aligned} &y = \sqrt{x} \xrightarrow{\text{влево на 1 ед.}} y = \sqrt{x + 1}; \\ &y = \sqrt{x + 1} \xrightarrow{\text{симметрия относительно оси ординат}} y = \sqrt{1 - x}; \\ &y = \sqrt{1 - x} \xrightarrow{\text{сжатие в 3 раза к оси ординат}} y = \sqrt{1 - 3x}. \end{aligned}\]
\(1 - 3x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant \dfrac{1}{3}\), поэтому \(D(y) = \left(-\infty;\ \dfrac{1}{3}\right]\): ветвь начинается в точке \(\left(\dfrac{1}{3};\ 0\right)\) и поднимается влево; при \(x = 0\) получаем \(y = 1\).
2) \(y = \sqrt{1 - 3\,|x|}\).
Здесь \(y = f(|x|)\), где \(f(x) = \sqrt{1 - 3x}\): к части графика пункта 1) с неотрицательными абсциссами добавляем симметричную ей относительно оси ординат фигуру.
Эта часть — дуга от точки \((0;\ 1)\) до точки \(\left(\dfrac{1}{3};\ 0\right)\), поэтому \(D(y) = \left[-\dfrac{1}{3};\ \dfrac{1}{3}\right]\) — ограниченный отрезок; нули функции — числа \(-\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{3}\), наибольшее значение 1 достигается при \(x = 0\), и в точке \((0;\ 1)\) график имеет излом.
\(f(x) = \bigl|4|x| - 3\bigr|\) и \(g(x) = a(x - 2)\): нужны все \(a\), при которых графики имеют ровно три общие точки.
Схема построения графика функции \(f\): \[y = 4x - 3 \ \rightarrow \ y = 4|x| - 3 \ \rightarrow \ y = \bigl|4|x| - 3\bigr|.\]
Ломаная симметрична относительно оси ординат: её нули — числа \(-0{,}75\) и \(0{,}75\), в точке \((0;\ 3)\) излом, угловые коэффициенты звеньев равны \(-4\) и 4.
Прямые \(g\) образуют пучок с центром \((2;\ 0)\): \(g(2) = 0\) при любом \(a\). Так как \(f(2) = |4 \cdot 2 - 3| = 5\), центр пучка лежит ниже ломаной.
Значения функции \(f\) неотрицательны, поэтому общие точки возможны только там, где \(a(x - 2) \geqslant 0\).
Случай \(a > 0\). Неравенство \(a(x - 2) \geqslant 0\) выполняется только при \(x \geqslant 2\); там \(f(x) = 4x - 3\), разность \(f(x) - a(x - 2)\) равна \((4 - a)x - 3 + 2a\), а при \(x = 2\) она равна \(8 - 3 = 5 > 0\). При \(a \leqslant 4\) с ростом \(x\) разность не убывает и остаётся положительной — корней нет; при \(a > 4\) она убывает и обращается в нуль ровно один раз — корень один. Трёх корней при положительных \(a\) быть не может.
Случай \(a = 0\). Уравнение принимает вид \(\bigl|4|x| - 3\bigr| = 0\), его корни — нули ломаной, числа \(-0{,}75\) и \(0{,}75\). Корней два.
Случай \(a < 0\). Здесь \(a(x - 2) \geqslant 0\) при \(x \leqslant 2\). На каждом звене обе части линейны, поэтому разность линейна и корней на звене не больше одного; наличие корня показывают знаки разности \(f(x) - a(x - 2)\) на концах звена.
- Отрезок \([0{,}75;\ 2]\), \(f(x) = 4x - 3\): разность равна \(1{,}25a < 0\) при \(x = 0{,}75\) и \(5 > 0\) при \(x = 2\) — знаки разные, ровно один корень при любом \(a < 0\).
- Отрезок \([0;\ 0{,}75]\), \(f(x) = 3 - 4x\): разность равна \(3 + 2a\) при \(x = 0\) и \(1{,}25a < 0\) при \(x = 0{,}75\) — корень есть тогда и только тогда, когда \(3 + 2a \geqslant 0\), то есть когда \(a \geqslant -1{,}5\); при \(a = -1{,}5\) этим корнем является число 0.
- Отрезок \([-0{,}75;\ 0]\), \(f(x) = 4x + 3\): разность равна \(2{,}75a < 0\) при \(x = -0{,}75\) и \(3 + 2a\) при \(x = 0\) — корень есть при том же условии \(a \geqslant -1{,}5\), и при \(a = -1{,}5\) это снова число 0, то есть тот же корень.
- Луч \((-\infty;\ -0{,}75]\), \(f(x) = -4x - 3\): разность равна \(-(4 + a)x - 3 + 2a\), при \(x = -0{,}75\) она равна \(2{,}75a < 0\). При \(a > -4\) с убыванием \(x\) разность неограниченно возрастает и обращается в нуль ровно один раз, при \(a \leqslant -4\) не возрастает и остаётся отрицательной — корней нет.
Значит, при \(-1{,}5 < a < 0\) уравнение имеет четыре корня, при \(a = -1{,}5\) — три, при \(-4 < a < -1{,}5\) — два, при \(a \leqslant -4\) — один. Три корня получаются только тогда, когда прямая проходит через точку излома \((0;\ 3)\): из равенства \(a(0 - 2) = 3\) находим \(a = -1{,}5\).
Проверка: при \(a = -1{,}5\) уравнение \(4x - 3 = -1{,}5x + 3\) даёт \(5{,}5x = 6\), откуда \(x = \dfrac{12}{11}\); уравнение \(-4x - 3 = -1{,}5x + 3\) даёт \(-2{,}5x = 6\), откуда \(x = -2{,}4\); третий корень — число 0. Все три числа принадлежат тем звеньям, на которых найдены, — корней ровно три.
Ответ: \(a = -1{,}5\).
1) \(y = \dfrac{1}{2x + 1}\).
Построение графика можно вести по такой схеме: \[\begin{aligned} &y = \frac{1}{x} \xrightarrow{\text{влево на 1 ед.}} y = \frac{1}{x + 1}; \\ &y = \frac{1}{x + 1} \xrightarrow{\text{сжатие в 2 раза к оси ординат}} y = \frac{1}{2x + 1}. \end{aligned}\]
Знаменатель обращается в нуль при \(x = -\dfrac{1}{2}\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\). Прямая \(x = -\dfrac{1}{2}\) — вертикальная асимптота графика, прямая \(y = 0\) — горизонтальная. При \(x = 0\) получаем \(y = 1\), то есть график проходит через точку \((0;\ 1)\).
2) \(y = \left|\dfrac{1}{2x + 1}\right|\).
Схема построения: \[y = \frac{1}{2x + 1} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{1}{2x + 1}\right|.\]
Ту часть графика пункта 1), точки которой имеют неотрицательные ординаты, оставляем без изменений, а часть, точки которой имеют отрицательные ординаты, отображаем симметрично относительно оси абсцисс.
Дробь \(\dfrac{1}{2x + 1}\) отрицательна тогда и только тогда, когда \(2x + 1 < 0\), то есть при \(x < -\dfrac{1}{2}\). Значит, ниже оси абсцисс лежит левая ветвь графика пункта 1) — она и отображается вверх, а правая ветвь остаётся без изменений. Область определения и асимптоты те же, все значения функции положительны; при \(x = 0\) получаем \(y = 1\).
1) \(y = \sqrt{1 - 3x}\).
Построение графика можно вести по такой схеме: \[\begin{aligned} &y = \sqrt{x} \xrightarrow{\text{влево на 1 ед.}} y = \sqrt{x + 1}; \\ &y = \sqrt{x + 1} \xrightarrow{\text{симметрия относительно оси ординат}} y = \sqrt{1 - x}; \\ &y = \sqrt{1 - x} \xrightarrow{\text{сжатие в 3 раза к оси ординат}} y = \sqrt{1 - 3x}. \end{aligned}\]
Подкоренное выражение неотрицательно при \(1 - 3x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant \dfrac{1}{3}\), поэтому \(D(y) = \left(-\infty;\ \dfrac{1}{3}\right]\). Ветвь начинается в точке \(\left(\dfrac{1}{3};\ 0\right)\) и поднимается влево; при \(x = 0\) получаем \(y = 1\).
2) \(y = \sqrt{1 - 3\,|x|}\).
Обозначим \(f(x) = \sqrt{1 - 3x}\); тогда данная функция имеет вид \(y = f(|x|)\), и схема построения такова: \[y = \sqrt{1 - 3x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{1 - 3\,|x|}.\]
Ту часть графика пункта 1), все точки которой имеют неотрицательные абсциссы, оставляем без изменений, а к ней добавляем фигуру, симметричную ей относительно оси ординат.
Часть графика пункта 1) с неотрицательными абсциссами — это дуга от точки \((0;\ 1)\) до точки \(\left(\dfrac{1}{3};\ 0\right)\). Поэтому \(D(y) = \left[-\dfrac{1}{3};\ \dfrac{1}{3}\right]\) — ограниченный отрезок, нули функции — числа \(-\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{3}\), наибольшее значение \(1\) достигается при \(x = 0\), и в точке \((0;\ 1)\) график имеет излом.
Рассмотрим функции \(f(x) = \bigl|4|x| - 3\bigr|\) и \(g(x) = a(x - 2)\). Задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра \(a\), при которых графики функций \(f\) и \(g\) имеют ровно три общие точки.
График функции \(f\) строим по такой схеме: \[y = 4x - 3 \ \rightarrow \ y = 4|x| - 3 \ \rightarrow \ y = \bigl|4|x| - 3\bigr|.\]
Получается ломаная, симметричная относительно оси ординат: её нули — числа \(-0{,}75\) и \(0{,}75\), в точке \((0;\ 3)\) она имеет излом, а угловые коэффициенты её звеньев равны \(-4\) и \(4\).
Графиком функции \(g\) является прямая. При любом значении \(a\) она проходит через точку \((2;\ 0)\), потому что \(g(2) = a \cdot 0 = 0\); эта точка лежит ниже ломаной, так как \(f(2) = |4 \cdot 2 - 3| = 5\). Значит, все эти прямые образуют пучок с центром в точке \((2;\ 0)\), и с изменением \(a\) прямая поворачивается вокруг этой точки.
Значения функции \(f\) неотрицательны, поэтому общие точки возможны только там, где \(a(x - 2) \geqslant 0\).
Случай \(a > 0\). Неравенство \(a(x - 2) \geqslant 0\) выполняется только при \(x \geqslant 2\). На этом луче \(f(x) = 4x - 3\), и разность \(f(x) - a(x - 2)\) равна \((4 - a)x - 3 + 2a\); при \(x = 2\) она равна \(8 - 3 = 5 > 0\). Если \(a \leqslant 4\), то с ростом \(x\) эта разность не убывает и остаётся положительной — корней нет. Если \(a > 4\), то она убывает и обращается в нуль ровно один раз — корень один. Трёх корней при положительных \(a\) быть не может.
Случай \(a = 0\). Уравнение принимает вид \(\bigl|4|x| - 3\bigr| = 0\), его корни — нули ломаной, то есть числа \(-0{,}75\) и \(0{,}75\). Корней два.
Случай \(a < 0\). Здесь \(a(x - 2) \geqslant 0\) при \(x \leqslant 2\). На каждом звене ломаной обе части уравнения — линейные функции, поэтому их разность линейна и на звене есть не больше одного корня; наличие корня определяется знаками разности \(f(x) - a(x - 2)\) на концах звена.
- На отрезке \([0{,}75;\ 2]\) имеем \(f(x) = 4x - 3\). Разность равна \(0 - (-1{,}25a) = 1{,}25a < 0\) при \(x = 0{,}75\) и равна \(5 - 0 = 5 > 0\) при \(x = 2\). Знаки разные, поэтому здесь ровно один корень при любом \(a < 0\).
- На отрезке \([0;\ 0{,}75]\) имеем \(f(x) = 3 - 4x\). Разность равна \(3 + 2a\) при \(x = 0\) и равна \(1{,}25a < 0\) при \(x = 0{,}75\). Корень есть тогда и только тогда, когда \(3 + 2a \geqslant 0\), то есть когда \(a \geqslant -1{,}5\); при \(a = -1{,}5\) этим корнем является число \(0\).
- На отрезке \([-0{,}75;\ 0]\) имеем \(f(x) = 4x + 3\). Разность равна \(0 - (-2{,}75a) = 2{,}75a < 0\) при \(x = -0{,}75\) и равна \(3 + 2a\) при \(x = 0\). Корень есть при том же условии \(a \geqslant -1{,}5\); при \(a = -1{,}5\) это снова число \(0\), то есть тот же корень, что и на предыдущем отрезке.
- На луче \((-\infty;\ -0{,}75]\) имеем \(f(x) = -4x - 3\), и разность равна \(-(4 + a)x - 3 + 2a\); при \(x = -0{,}75\) она равна \(2{,}75a < 0\). Если \(a > -4\), то при убывании \(x\) разность неограниченно возрастает и обращается в нуль ровно один раз. Если же \(a \leqslant -4\), то она не возрастает и остаётся отрицательной, то есть корней на этом луче нет.
Значит, при \(-1{,}5 < a < 0\) уравнение имеет четыре корня, при \(a = -1{,}5\) — три, при \(-4 < a < -1{,}5\) — два, при \(a \leqslant -4\) — один.
Три корня получаются только тогда, когда прямая проходит через точку излома \((0;\ 3)\): из равенства \(a(0 - 2) = 3\) находим \(a = -1{,}5\).
Проверка: при \(a = -1{,}5\) уравнение \(4x - 3 = -1{,}5x + 3\) даёт \(5{,}5x = 6\), откуда \(x = \dfrac{12}{11}\); уравнение \(-4x - 3 = -1{,}5x + 3\) даёт \(-2{,}5x = 6\), откуда \(x = -2{,}4\); третий корень — число \(0\). Все три числа принадлежат тем звеньям, на которых найдены, и уравнение действительно имеет ровно три корня: \(-2{,}4\), \(0\) и \(\dfrac{12}{11}\).
Ответ: \(a = -1{,}5\).
