Самостоятельная работа 7 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция \(y = 3x - 2\) возрастает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(3x_1 < 3x_2\), а тогда и \(3x_1 - 2 < 3x_2 - 2\). Возрастающая функция обратима, значит, функция \(y = 3x - 2\) обратима.

2) Область определения данной функции — промежуток \([1;\ +\infty)\). На нём функция \(y = x^2\) возрастает: если \(1 \leqslant x_1 < x_2\), то обе части неравенства \(x_1 < x_2\) положительны, поэтому \(x_1^2 < x_2^2\). Возрастающая функция обратима, значит, эта функция обратима.

3) Область определения — промежуток \([-2;\ +\infty)\), и ему принадлежат оба числа \(-2\) и \(2\). При этом \((-2)^2 = 4\) и \(2^2 = 4\), то есть значению функции, равному \(4\), соответствуют два значения аргумента. Значит, эта функция не обратима.

Ответ: обратимыми являются функции 1) \(y = 3x - 2\) и 2) \(y = x^2\), \(D(y) = [1;\ +\infty)\); функция 3) \(y = x^2\), \(D(y) = [-2;\ +\infty)\) обратимой не является.

1) Обозначим данную функцию через \(f\), а обратную к ней — через \(g\).

Функция \(f(x) = 2x + 4\) возрастает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(2x_1 + 4 < 2x_2 + 4\). Возрастающая функция обратима, поэтому обратная функция существует.

Укажем правило, позволяющее по каждому значению переменной \(y\) найти такое значение переменной \(x\), что \(y = 2x + 4\). Имеем: \(2x = y - 4\); \(x = \frac{y - 4}{2}\).

Полученное равенство задаёт функцию с аргументом \(y\) и зависимой переменной \(x\). Обозначая, как принято, независимую переменную буквой \(x\), а зависимую — буквой \(y\), получаем искомую функцию \(y = \frac{x - 4}{2}\), причём \(D(g) = E(f) = \mathbf{R}\) и \(E(g) = D(f) = \mathbf{R}\).

2) Обозначим данную функцию через \(f\), а обратную к ней — через \(g\).

Область определения: \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(D(f) = [-3;\ +\infty)\).

Функция \(f(x) = 1 + \sqrt{x + 3}\) возрастает: если \(-3 \leqslant x_1 < x_2\), то \(x_1 + 3 < x_2 + 3\), откуда \(\sqrt{x_1 + 3} < \sqrt{x_2 + 3}\) и \(1 + \sqrt{x_1 + 3} < 1 + \sqrt{x_2 + 3}\). Возрастающая функция обратима.

Выразим \(x\) через \(y\): \(\sqrt{x + 3} = y - 1\). Такое равенство возможно только при \(y - 1 \geqslant 0\), то есть при \(y \geqslant 1\), а при этом условии оно равносильно равенству \(x + 3 = (y - 1)^2\), откуда \(x = (y - 1)^2 - 3\). Значит, \(E(f) = [1;\ +\infty)\).

Обозначая независимую переменную буквой \(x\), а зависимую — буквой \(y\), получаем обратную функцию \(y = (x - 1)^2 - 3\), причём \(D(g) = E(f) = [1;\ +\infty)\).

На всей числовой прямой формула \(y = (x - 1)^2 - 3\) задавала бы параболу — функцию, не являющуюся обратимой; обратной к функции \(f\) служит только её часть, заданная на промежутке \([1;\ +\infty)\).

Ответ: 1) \(y = \frac{x - 4}{2}\); 2) \(y = (x - 1)^2 - 3\), \(D(g) = [1;\ +\infty)\).

3. С помощью графика функции \(f\), изображённого на рисунке 2, постройте график функции \(g\), обратной к функции \(f\).

Любая горизонтальная прямая пересекает изображённую на рисунке кривую не более чем в одной точке: функция \(f\) возрастает. Значит, функция \(f\) обратима и обратная к ней функция \(g\) существует.

Кривая выходит за края сетки, поэтому области определения и значений функции \(f\) числами с рисунка не читаются; известно лишь, что \(D(g) = E(f)\) и \(E(g) = D(f)\).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\), поэтому график функции \(g\) получается из графика функции \(f\) симметрией относительно этой прямой: каждая точка \((a;\ b)\) графика \(f\) переходит в точку \((b;\ a)\) графика \(g\). Так, точка \((-2;\ 1)\) переходит в точку \((1;\ -2)\), точка \((0;\ 2)\) — в точку \((2;\ 0)\), точка \((1;\ 4)\) — в точку \((4;\ 1)\).

Отразим кривую относительно прямой \(y = x\) и построим график функции \(g\).

Функция \(f(x) = x^3 + x - 27\) возрастает на \(\mathbf{R}\). Действительно, пусть \(x_1 < x_2\). Тогда \(x_1^3 < x_2^3\) (функция \(y = x^3\) возрастает) и \(x_1 < x_2\); складывая почленно эти неравенства одного знака, получаем \(x_1^3 + x_1 < x_2^3 + x_2\), а тогда и \(x_1^3 + x_1 - 27 < x_2^3 + x_2 - 27\), то есть \(f(x_1) < f(x_2)\).

Возрастающая функция обратима, поэтому обратная к ней функция \(g\) существует, причём обратная к возрастающей функции также возрастает.

Пусть \(x_0\) — корень уравнения \(f(x) = g(x)\), и пусть \(y_0 = f(x_0) = g(x_0)\). Из равенства \(g(x_0) = y_0\) по определению взаимно обратных функций следует, что \(f(y_0) = x_0\). Если бы выполнялось неравенство \(x_0 < y_0\), то из возрастания функции \(f\) следовало бы, что \(f(x_0) < f(y_0)\), то есть \(y_0 < x_0\), — противоречие. Точно так же невозможно и неравенство \(x_0 > y_0\). Значит, \(x_0 = y_0\), то есть \(f(x_0) = x_0\).

Обратно, если \(f(x_0) = x_0\), то \(g(x_0) = x_0\), и потому \(f(x_0) = g(x_0)\). Следовательно, уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(f(x) = x\).

Решим последнее уравнение: \(x^3 + x - 27 = x\); \(x^3 - 27 = 0\); \((x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0\).

Дискриминант трёхчлена \(x^2 + 3x + 9\) равен \(9 - 36 = -27\) — он отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому \(x^2 + 3x + 9 > 0\) при любом \(x\). Значит, произведение равно нулю только при \(x - 3 = 0\), то есть уравнение имеет единственный корень \(x = 3\).

Проверка: \(f(3) = 3^3 + 3 - 27 = 3\); из равенства \(f(3) = 3\) следует, что \(g(3) = 3\), поэтому \(f(3) = g(3)\).

Ответ: \(3\).