Самостоятельная работа 7 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция \(y = 2x + 3\) возрастает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(2x_1 < 2x_2\), а тогда и \(2x_1 + 3 < 2x_2 + 3\). Возрастающая функция обратима, значит, функция \(y = 2x + 3\) обратима.

2) Область определения — отрезок \([-3;\ 3]\), и ему принадлежат оба числа \(-3\) и \(3\). При этом \((-3)^2 = 9\) и \(3^2 = 9\), то есть значению функции, равному \(9\), соответствуют два значения аргумента. Значит, эта функция не обратима.

3) Область определения данной функции — промежуток \((-\infty;\ -1]\). На нём функция \(y = x^2\) убывает: если \(x_1 < x_2 \leqslant -1\), то \(0 < -x_2 < -x_1\), поэтому \((-x_2)^2 < (-x_1)^2\), то есть \(x_2^2 < x_1^2\). Убывающая функция обратима, значит, эта функция обратима.

Ответ: обратимыми являются функции 1) \(y = 2x + 3\) и 3) \(y = x^2\), \(D(y) = (-\infty;\ -1]\); функция 2) \(y = x^2\), \(D(y) = [-3;\ 3]\) обратимой не является.

1) Обозначим данную функцию через \(f\), а обратную к ней — через \(g\).

Функция \(f(x) = 5 - 4x\) убывает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(-4x_1 > -4x_2\), а тогда и \(5 - 4x_1 > 5 - 4x_2\). Убывающая функция обратима, поэтому обратная функция существует.

Укажем правило, позволяющее по каждому значению переменной \(y\) найти такое значение переменной \(x\), что \(y = 5 - 4x\). Имеем: \(4x = 5 - y\); \(x = \frac{5 - y}{4}\).

Полученное равенство задаёт функцию с аргументом \(y\) и зависимой переменной \(x\). Обозначая, как принято, независимую переменную буквой \(x\), а зависимую — буквой \(y\), получаем искомую функцию \(y = \frac{5 - x}{4}\), причём \(D(g) = E(f) = \mathbf{R}\) и \(E(g) = D(f) = \mathbf{R}\).

2) Обозначим данную функцию через \(f\), а обратную к ней — через \(g\).

Область определения: \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(D(f) = [3;\ +\infty)\).

Функция \(f(x) = 2 - \sqrt{x - 3}\) убывает: если \(3 \leqslant x_1 < x_2\), то \(x_1 - 3 < x_2 - 3\), откуда \(\sqrt{x_1 - 3} < \sqrt{x_2 - 3}\) и \(2 - \sqrt{x_1 - 3} > 2 - \sqrt{x_2 - 3}\). Убывающая функция обратима.

Выразим \(x\) через \(y\): \(\sqrt{x - 3} = 2 - y\). Такое равенство возможно только при \(2 - y \geqslant 0\), то есть при \(y \leqslant 2\), а при этом условии оно равносильно равенству \(x - 3 = (2 - y)^2\), откуда \(x = (2 - y)^2 + 3\). Значит, \(E(f) = (-\infty;\ 2]\).

Обозначая независимую переменную буквой \(x\), а зависимую — буквой \(y\), и учитывая, что \((2 - x)^2 = (x - 2)^2\), получаем обратную функцию \(y = (x - 2)^2 + 3\), причём \(D(g) = E(f) = (-\infty;\ 2]\).

На всей числовой прямой формула \(y = (x - 2)^2 + 3\) задавала бы параболу — функцию, не являющуюся обратимой; обратной к функции \(f\) служит только её часть, заданная на промежутке \((-\infty;\ 2]\).

Ответ: 1) \(y = \frac{5 - x}{4}\); 2) \(y = (x - 2)^2 + 3\), \(D(g) = (-\infty;\ 2]\).

3. С помощью графика функции \(f\), изображённого на рисунке 9, постройте график функции \(g\), обратной к функции \(f\).

Любая горизонтальная прямая пересекает изображённую на рисунке кривую не более чем в одной точке: функция \(f\) возрастает. Значит, функция \(f\) обратима и обратная к ней функция \(g\) существует.

С рисунка читаются \(D(f) = [-2;\ 5]\) и \(E(f) = [0;\ 3]\), поэтому \(D(g) = E(f) = [0;\ 3]\) и \(E(g) = D(f) = [-2;\ 5]\).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\), поэтому график функции \(g\) получается из графика функции \(f\) симметрией относительно этой прямой: каждая точка \((a;\ b)\) графика \(f\) переходит в точку \((b;\ a)\) графика \(g\). Так, левый конец графика — точка \((-2;\ 0)\) — переходит в точку \((0;\ -2)\), точка \((0;\ 2)\) — в точку \((2;\ 0)\), а правый конец — точка \((5;\ 3)\) — в точку \((3;\ 5)\). Значит, график функции \(g\) идёт от точки \((0;\ -2)\) до точки \((3;\ 5)\) и за эти точки не продолжается.

Отразим кривую относительно прямой \(y = x\) и построим график функции \(g\).

Функция \(f(x) = x^5 + x + 32\) возрастает на \(\mathbf{R}\). Действительно, пусть \(x_1 < x_2\). Тогда \(x_1^5 < x_2^5\) (функция \(y = x^5\) возрастает) и \(x_1 < x_2\); складывая почленно эти неравенства одного знака, получаем \(x_1^5 + x_1 < x_2^5 + x_2\), а тогда и \(x_1^5 + x_1 + 32 < x_2^5 + x_2 + 32\), то есть \(f(x_1) < f(x_2)\).

Возрастающая функция обратима, поэтому обратная к ней функция \(g\) существует, причём обратная к возрастающей функции также возрастает.

Пусть \(x_0\) — корень уравнения \(f(x) = g(x)\), и пусть \(y_0 = f(x_0) = g(x_0)\). Из равенства \(g(x_0) = y_0\) по определению взаимно обратных функций следует, что \(f(y_0) = x_0\). Если бы выполнялось неравенство \(x_0 < y_0\), то из возрастания функции \(f\) следовало бы, что \(f(x_0) < f(y_0)\), то есть \(y_0 < x_0\), — противоречие. Точно так же невозможно и неравенство \(x_0 > y_0\). Значит, \(x_0 = y_0\), то есть \(f(x_0) = x_0\).

Обратно, если \(f(x_0) = x_0\), то \(g(x_0) = x_0\), и потому \(f(x_0) = g(x_0)\). Следовательно, уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(f(x) = x\).

Решим последнее уравнение: \(x^5 + x + 32 = x\); \(x^5 + 32 = 0\); \((x + 2)\left(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16\right) = 0\).

Выделим во втором множителе полный квадрат: \(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16 = \left(x^2 - x\right)^2 + 3x^2 - 8x + 16\), где \(\left(x^2 - x\right)^2 \geqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(3x^2 - 8x + 16\) равен \(64 - 192 = -128\) — он отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому \(3x^2 - 8x + 16 > 0\) при любом \(x\). Значит, второй множитель положителен при любом \(x\), и произведение равно нулю только при \(x + 2 = 0\), то есть уравнение имеет единственный корень \(x = -2\).

Проверка: \(f(-2) = (-2)^5 + (-2) + 32 = -32 - 2 + 32 = -2\); из равенства \(f(-2) = -2\) следует, что \(g(-2) = -2\), поэтому \(f(-2) = g(-2)\).

Ответ: \(-2\).