Самостоятельная работа 6 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) \(y = \dfrac{1}{3x + 1}\).

Построение ведём по такой схеме: \(y = \dfrac{1}{x}\) \(\to\) (влево на 1 ед.) \(\to\) \(y = \dfrac{1}{x + 1}\) \(\to\) (сжатие в 3 раза к оси ординат) \(\to\) \(y = \dfrac{1}{3x + 1}\).

Знаменатель обращается в нуль при \(x = -\dfrac{1}{3}\), поэтому \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}\): прямая \(x = -\dfrac{1}{3}\) — вертикальная асимптота графика, прямая \(y = 0\) — горизонтальная. Дробь \(\dfrac{1}{3x + 1}\) не равна нулю ни при одном значении \(x\), поэтому нулей у функции нет. При \(x = 0\) имеем \(y = 1\), значит, график проходит через точку \((0;\ 1)\).

2) \(y = \left|\dfrac{1}{3x + 1}\right|\).

График строим из графика пункта 1): часть графика, точки которой имеют неотрицательные ординаты, оставляем без изменений, а часть, точки которой имеют отрицательные ординаты, отображаем симметрично относительно оси абсцисс.

При \(x > -\dfrac{1}{3}\) имеем \(3x + 1 > 0\) и \(\dfrac{1}{3x + 1} > 0\): правая ветвь лежит выше оси абсцисс и остаётся на месте. При \(x < -\dfrac{1}{3}\) имеем \(3x + 1 < 0\) и \(\dfrac{1}{3x + 1} < 0\): левая ветвь лежит ниже оси абсцисс, её и отображаем вверх. Область определения и асимптоты те же, а все значения функции положительны.

1) \(y = \sqrt{3 - 2x}\).

Построение ведём по такой схеме: \(y = \sqrt{x}\) \(\to\) (влево на 3 ед.) \(\to\) \(y = \sqrt{x + 3}\) \(\to\) (симметрия относительно оси ординат) \(\to\) \(y = \sqrt{-x + 3}\) \(\to\) (сжатие в 2 раза к оси ординат) \(\to\) \(y = \sqrt{3 - 2x}\).

Область определения задаётся условием \(3 - 2x \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant 1{,}5\); значит, \(D(y) = (-\infty;\ 1{,}5]\). Ветвь начинается в точке \((1{,}5;\ 0)\) и идёт влево вверх. При \(x = 0\) имеем \(y = \sqrt{3}\), значит, график проходит через точку \(\left(0;\ \sqrt{3}\right)\).

2) \(y = \sqrt{3 - 2|x|}\).

График строим из графика пункта 1): часть графика, точки которой имеют неотрицательные абсциссы, оставляем без изменений и строим фигуру, симметричную ей относительно оси ординат.

Область определения задаётся условием \(3 - 2|x| \geqslant 0\), откуда \(|x| \leqslant 1{,}5\); значит, \(D(y) = [-1{,}5;\ 1{,}5]\) — отрезок, а не луч, как в пункте 1). Нули функции — числа \(-1{,}5\) и \(1{,}5\); наибольшее значение \(\sqrt{3}\) функция принимает при \(x = 0\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = \bigl|4|x| - 1\bigr|\). Построение её графика ведём по такой схеме: \[y = 4x - 1 \ \rightarrow \ y = 4|x| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|4|x| - 1\bigr|.\]

Полученная линия — ломаная из четырёх звеньев:
\(y = -4x - 1\) при \(x \leqslant -\dfrac{1}{4}\);
\(y = 4x + 1\) при \(-\dfrac{1}{4} \leqslant x \leqslant 0\);
\(y = 1 - 4x\) при \(0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{4}\);
\(y = 4x - 1\) при \(x \geqslant \dfrac{1}{4}\).

Нули функции \(f\) — числа \(-\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{4}\); в точке \((0;\ 1)\) ломаная имеет излом — это вершина среднего «уголка»; угловые коэффициенты звеньев равны 4 и \(-4\).

Рассмотрим функцию \(g(x) = a(x + 2)\). Её графиком является прямая. При любом значении \(a\) выполняется равенство \(g(-2) = 0\), поэтому все такие прямые проходят через одну точку \((-2;\ 0)\) и при изменении \(a\) прямая поворачивается вокруг неё. Так как \(|-2| = 2\), имеем \(f(-2) = |8 - 1| = 7\), то есть точка \((-2;\ 0)\) лежит ниже графика функции \(f\).

Задача сводится к тому, чтобы найти те положения прямой \(g\), при которых графики функций \(f\) и \(g\) имеют три общие точки.

Ни одно звено ломаной не лежит на прямой, проходящей через точку \((-2;\ 0)\): при \(x = -2\) выражения \(-4x - 1\), \(4x + 1\), \(1 - 4x\), \(4x - 1\) принимают значения 7, \(-7\), 9, \(-9\). Поэтому прямая \(g\) имеет с каждым звеном не более одной общей точки, а всего общих точек не больше четырёх.

Если \(a < 0\), то при \(x > -2\) имеем \(a(x + 2) < 0\), тогда как \(f(x) \geqslant 0\), — общих точек на этом промежутке нет; при \(x = -2\) значения частей различны (7 и 0). При \(x < -2\) график функции \(f\) — часть звена \(y = -4x - 1\), и общих точек не больше одной. Значит, корней не больше одного.

Если \(a = 0\), то \(g(x) = 0\) и общие точки — нули функции \(f\), то есть числа \(-\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{4}\). Корней два.

Если \(a > 0\), то при \(x \leqslant -2\) имеем \(a(x + 2) \leqslant 0\), а \(f(x) = -4x - 1 \geqslant 7\), — общих точек нет, и все корни лежат на промежутке \((-2;\ +\infty)\). Разберём звенья по очереди.

Звено \(y = -4x - 1\) на промежутке \(\left(-2;\ -\dfrac{1}{4}\right]\): уравнение \(-4x - 1 = ax + 2a\) даёт \((a + 4)x = -2a - 1\), откуда \(x = -\dfrac{2a + 1}{a + 4}\). Неравенство \(x > -2\) равносильно неравенству \(2a + 1 < 2a + 8\) и верно при всех \(a\); неравенство \(x \leqslant -\dfrac{1}{4}\) равносильно неравенству \(8a + 4 \geqslant a + 4\), то есть \(7a \geqslant 0\), и тоже верно. Значит, на этом звене общая точка есть при каждом \(a > 0\).

Звено \(y = 4x - 1\) на промежутке \(\left[\dfrac{1}{4};\ +\infty\right)\): уравнение \(4x - 1 = ax + 2a\) даёт \((4 - a)x = 2a + 1\). При \(a = 4\) корней нет — прямая параллельна этому звену. При \(0 < a < 4\) имеем \(x = \dfrac{2a + 1}{4 - a} > 0\), и неравенство \(x \geqslant \dfrac{1}{4}\) равносильно неравенству \(8a + 4 \geqslant 4 - a\), то есть \(9a \geqslant 0\), — общая точка есть. При \(a > 4\) получаем \(x < 0\), и общей точки на звене нет.

Звено \(y = 4x + 1\) на промежутке \(\left[-\dfrac{1}{4};\ 0\right]\): уравнение \(4x + 1 = ax + 2a\) даёт \((4 - a)x = 2a - 1\). При \(a = 4\) корней нет. При \(0 < a < 4\) имеем \(x = \dfrac{2a - 1}{4 - a}\); неравенство \(x \leqslant 0\) равносильно неравенству \(2a - 1 \leqslant 0\), то есть \(a \leqslant \dfrac{1}{2}\), а неравенство \(x \geqslant -\dfrac{1}{4}\) равносильно неравенству \(7a \geqslant 0\) и верно всегда. При \(a > 4\) имеем \(x < 0\), но неравенство \(x \geqslant -\dfrac{1}{4}\) равносильно тогда неравенству \(7a \leqslant 0\) и не выполняется. Значит, общая точка есть в точности при \(0 < a \leqslant \dfrac{1}{2}\).

Звено \(y = 1 - 4x\) на промежутке \(\left[0;\ \dfrac{1}{4}\right]\): уравнение \(1 - 4x = ax + 2a\) даёт \((a + 4)x = 1 - 2a\), откуда \(x = \dfrac{1 - 2a}{a + 4}\). Неравенство \(x \geqslant 0\) равносильно неравенству \(1 - 2a \geqslant 0\), то есть \(a \leqslant \dfrac{1}{2}\), а неравенство \(x \leqslant \dfrac{1}{4}\) равносильно неравенству \(9a \geqslant 0\) и верно всегда. Значит, общая точка есть в точности при \(0 < a \leqslant \dfrac{1}{2}\).

При \(a = 0{,}5\) два последних корня совпадают: \(\dfrac{2 \cdot 0{,}5 - 1}{4 - 0{,}5} = 0\) и \(\dfrac{1 - 2 \cdot 0{,}5}{0{,}5 + 4} = 0\) — прямая проходит через вершину \((0;\ 1)\), и две общие точки сливаются в одну.

Соберём подсчёт для \(a > 0\): при \(0 < a < 0{,}5\) корней четыре, при \(a = 0{,}5\) — три, при \(0{,}5 < a < 4\) — два, при \(a \geqslant 4\) — один. Вместе со случаями \(a < 0\) (не больше одного корня) и \(a = 0\) (два корня) получаем, что три корня уравнение имеет только при \(a = 0{,}5\).

Построим график функции \(f\) и три прямые, проходящие через точку \((-2;\ 0)\): при \(a = 0{,}25\) (четыре общие точки), при \(a = 0{,}5\) (три) и при \(a = 1\) (две).

Проверка: при \(a = 0{,}5\) уравнение принимает вид \(\bigl|4|x| - 1\bigr| = 0{,}5x + 1\). При \(x = -\dfrac{4}{9}\) левая часть равна \(\left|\dfrac{16}{9} - 1\right| = \dfrac{7}{9}\), правая равна \(-\dfrac{2}{9} + 1 = \dfrac{7}{9}\); при \(x = 0\) обе части равны 1; при \(x = \dfrac{4}{7}\) левая часть равна \(\left|\dfrac{16}{7} - 1\right| = \dfrac{9}{7}\), правая равна \(\dfrac{2}{7} + 1 = \dfrac{9}{7}\). Уравнение имеет ровно три корня.

Ответ: \(a = 0{,}5\).