Самостоятельная работа 8 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Разложим на множители каждую скобку: \(x^2 + 5x = x(x + 5)\), \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Неравенство принимает вид \(x(x + 5)(x - 4)(x + 4) \geqslant 0\).

Числа \(-5\), \(-4\), \(0\), \(4\) являются нулями функции \(f(x) = x(x + 5)(x - 4)(x + 4)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\). Поэтому эти числа разбивают множество \(\mathbf{R}\) на промежутки знакопостоянства функции \(f\): \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ -4)\), \((-4;\ 0)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(f\) на этих промежутках:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) = 5 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 9 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);

\(2 \in (0;\ 4)\); \(f(2) = 2 \cdot 7 \cdot (-2) \cdot 6 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 4)\);

\(-2 \in (-4;\ 0)\); \(f(-2) = (-2) \cdot 3 \cdot (-6) \cdot 2 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-4;\ 0)\);

\(-4{,}5 \in (-5;\ -4)\); \(f(-4{,}5) = (-4{,}5) \cdot 0{,}5 \cdot (-8{,}5) \cdot (-0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-5;\ -4)\);

\(-6 \in (-\infty;\ -5)\); \(f(-6) = (-6) \cdot (-1) \cdot (-10) \cdot (-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -5)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -5) \cup (-4;\ 0) \cup (4;\ +\infty)\). Объединив его с множеством корней уравнения \(f(x) = 0\), то есть с числами \(-5\), \(-4\), \(0\), \(4\), получаем множество решений данного неравенства: \((-\infty;\ -5] \cup [-4;\ 0] \cup [4;\ +\infty)\).

2) Разложим квадратный трёхчлен на множители: его корни \(1\) и \(3\) (по теореме Виета их сумма равна \(4\), произведение равно \(3\)), поэтому \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\). Неравенство принимает вид \((x - 2)^2(x - 1)(x - 3) \geqslant 0\).

Числа \(1\), \(2\), \(3\) являются нулями функции \(f(x) = (x - 2)^2(x - 1)(x - 3)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), и разбивают множество \(\mathbf{R}\) на промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 1)\), \((1;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(f\):

\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) = 4 \cdot 3 \cdot 1 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);

\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) = 0{,}25 \cdot 1{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);

\(1{,}5 \in (1;\ 2)\); \(f(1{,}5) = 0{,}25 \cdot 0{,}5 \cdot (-1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 2)\);

\(0 \in (-\infty;\ 1)\); \(f(0) = 4 \cdot (-1) \cdot (-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 1)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ 1) \cup (3;\ +\infty)\). Уравнение \(f(x) = 0\) имеет корни \(1\), \(2\), \(3\), причём число \(2\) не принадлежит ни одному из найденных промежутков — оно даёт изолированную точку множества решений. Объединяя, получаем \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [3;\ +\infty)\).

3) Умножать обе части неравенства на \(x + 3\) нельзя: знак этого выражения неизвестен. Перенесём все члены в левую часть: \[\frac{x^2 + 7x}{x + 3} - \frac{8}{x + 3} \leqslant 0; \quad \frac{x^2 + 7x - 8}{x + 3} \leqslant 0.\]

Корни трёхчлена \(x^2 + 7x - 8\) — числа \(-8\) и \(1\) (их сумма равна \(-7\), произведение равно \(-8\)), поэтому \(x^2 + 7x - 8 = (x + 8)(x - 1)\) и неравенство принимает вид \(\frac{(x + 8)(x - 1)}{x + 3} \leqslant 0\).

Функция \(f(x) = \frac{(x + 8)(x - 1)}{x + 3}\) — частное многочленов, поэтому она непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ +\infty)\). Её нули — числа \(-8\) и \(1\); вместе с точкой \(-3\), не принадлежащей области определения, они разбивают \(D(f)\) на промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -8)\), \((-8;\ -3)\), \((-3;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(f\):

\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) = \frac{10 \cdot 1}{5} > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);

\(0 \in (-3;\ 1)\); \(f(0) = \frac{8 \cdot (-1)}{3} < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-3;\ 1)\);

\(-5 \in (-8;\ -3)\); \(f(-5) = \frac{3 \cdot (-6)}{-2} > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-8;\ -3)\);

\(-9 \in (-\infty;\ -8)\); \(f(-9) = \frac{(-1) \cdot (-10)}{-6} < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -8)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -8) \cup (-3;\ 1)\). Уравнение \(f(x) = 0\) имеет корни \(-8\) и \(1\), и оба принадлежат области определения. Объединяя, получаем \((-\infty;\ -8] \cup (-3;\ 1]\).

4) Область определения левой части задаётся условием \(x^2 + 10x + 9 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(x^2 + 10x + 9\) — числа \(-9\) и \(-1\) (их сумма равна \(-10\), произведение равно \(9\)), поэтому условие принимает вид \((x + 9)(x + 1) \geqslant 0\).

Числа \(-9\) и \(-1\) являются нулями функции \(u(x) = (x + 9)(x + 1)\), непрерывной на \(\mathbf{R}\). Имеем: \(u(0) = 9 \cdot 1 > 0\); \(u(-5) = 4 \cdot (-4) < 0\); \(u(-10) = (-1) \cdot (-9) > 0\). Значит, неравенство \(u(x) \geqslant 0\) выполняется при \(x \in (-\infty;\ -9] \cup [-1;\ +\infty)\) — это и есть область определения.

На ней \(\sqrt{x^2 + 10x + 9} \geqslant 0\), причём корень равен нулю только при \(x = -9\) и при \(x = -1\). В этих двух точках всё произведение равно нулю, поэтому оба числа — решения неравенства.

В остальных точках области определения \(\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0\), и произведение положительного числа на \(x^2 - 6x + 8\) не превосходит нуля тогда и только тогда, когда \(x^2 - 6x + 8 \leqslant 0\). Корни этого трёхчлена — числа \(2\) и \(4\) (их сумма равна \(6\), произведение равно \(8\)), поэтому неравенство принимает вид \((x - 2)(x - 4) \leqslant 0\).

Числа \(2\) и \(4\) являются нулями функции \(v(x) = (x - 2)(x - 4)\), непрерывной на \(\mathbf{R}\). Имеем: \(v(5) = 3 \cdot 1 > 0\); \(v(3) = 1 \cdot (-1) < 0\); \(v(0) = (-2) \cdot (-4) > 0\). Значит, \(v(x) \leqslant 0\) при \(x \in [2;\ 4]\). Весь отрезок \([2;\ 4]\) лежит в области определения, так как он содержится в промежутке \([-1;\ +\infty)\).

Значит, множество решений — \(\{-9,\ -1\} \cup [2;\ 4]\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ -5] \cup [-4;\ 0] \cup [4;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [3;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -8] \cup (-3;\ 1]\); 4) \(\{-9,\ -1\} \cup [2;\ 4]\).

При \(x = a\) множитель \((x - a)^2\) обращается в нуль, поэтому левая часть неравенства равна нулю и неравенство \((x + 6)(x - a)^2 \leqslant 0\) выполняется. Значит, число \(a\) является решением при любом значении параметра.

Пусть теперь \(x \ne a\). Тогда \((x - a)^2 > 0\), и неравенство \((x + 6)(x - a)^2 \leqslant 0\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x + 6 \leqslant 0\), то есть когда \(x \leqslant -6\).

Значит, множество решений состоит из промежутка \((-\infty;\ -6]\) и числа \(a\), и остаётся выяснить, лежит ли это число в найденном промежутке.

Если \(a \leqslant -6\), то число \(a\) принадлежит промежутку \((-\infty;\ -6]\), и множеством решений является сам промежуток \((-\infty;\ -6]\).

Если \(a > -6\), то число \(a\) промежутку \((-\infty;\ -6]\) не принадлежит и даёт изолированную точку множества решений: это множество имеет вид \((-\infty;\ -6] \cup \{a\}\).

Ответ: при \(a \leqslant -6\) множество решений — \((-\infty;\ -6]\); при \(a > -6\) множество решений — \((-\infty;\ -6] \cup \{a\}\).