Страница 159 номер 603, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что функция: 1) \(f(x) = x^2 + 4x\) убывает на промежутке \((-\infty;\ -2]\); 2) \(f(x) = \frac{9}{4 + x}\) убывает на промежутке \((-\infty;\ -4)\).
1) \(f(x) = x^{2} + 4x\) убывает на промежутке \(( - \infty; - 2]\)
Имеем \(x_{1} < x_{2}\), т.е. \(x_{1} - x_{2} < 0\).
\(f\left( x_{1} \right) = x_{1}^{2} + 4x_{1};\ f\left( x_{2} \right) = x_{2}^{2} + 4x_{2}\)
\(f\left( x_{1} \right) - f\left( x_{2} \right) = x_{1}^{2} + 4x_{1} - x_{2}^{2} - 4x_{2} =\)
\(= x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} - x_{2} \right) = \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( x_{1} + x_{2} + 4 \right)\)
\(\begin{cases} x_{1} - x_{2} < 0 \\ x_{1} + x_{2} < - 4,\ \text{т.к.}\ x_{1} < x_{2} \leqslant - 2 \end{cases}\ \Rightarrow f\left( x_{1} \right) - f\left( x_{2} \right) > 0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow f\left( x_{1} \right) > f\left( x_{2} \right) \Rightarrow y_{1} > y_{2}\) - функция убывает.
2) \(f(x) = \frac{9}{4 + x}\) убывает на промежутке \(( - \infty; - 4)\)
Имеем \(x_{1} < x_{2}\)
\(f\left( x_{1} \right) = \dfrac{9}{4 + x_{1}};\ f\left( x_{2} \right) = \dfrac{9}{4 + x_{2}}\)
\(x_{1} < x_{2} < - 4\)
\(4 + x_{1} < 4 + x_{2} < 0\)
\(\dfrac{1}{4 + x_{1}} > \dfrac{1}{4 + x_{2}}\)
\(\dfrac{9}{4 + x_{1}} > \dfrac{9}{4 + x_{2}}\)
\(f\left( x_{1} \right) > f(x_{2})\) - функция убывает
