Страница 159 номер 605, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Натуральное число – целое положительное число.

Разложим на множители

\(x^{4} - y^{4} = x^{3} + y^{3}\)
\(\left( x^{2} - y^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right) = (x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} \right)\)
\((x - y)(x + y)\left( x^{2} + y^{2} \right) = (x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} \right)\)
\((x + y)\left( (x - y)\left( x^{2} + y^{2} \right) - \left( x^{2} - xy + y^{2} \right) \right) = 0\)

Первый из множителей

\(x + y = 0 \Rightarrow x = - y\) – искомыми \(x,y\) являться не могут, т.к. разного знака, то есть один из них уже не натуральный.

Второй множитель

\((x - y)\left( x^{2} + y^{2} \right) = \left( x^{2} - xy + y^{2} \right)\)

Составим систему

\(\left\{ \begin{aligned} & x - y = 1 \\ & x^{2} + y^{2} = x^{2} - xy + y^{2} \end{aligned} \right.\ \Rightarrow \begin{cases} x = y + 1 \\ xy = 0 \end{cases}\ \Rightarrow\)один из множителей ноль, уже не натуральное число.
\(\left\{ \begin{aligned} & x - y = x^{2} - xy + y^{2} \\ & x^{2} + y^{2} = 1 \end{aligned} \right.\ \Rightarrow\)рассматривая целые числа, по второму уравнению либо \(x = 0\), либо \(y = 0\) - что уже не является натуральным числом

Остальные случаи

\(x - y \leqslant 0 \Rightarrow (x - y)\left( x^{2} + y^{2} \right) \leqslant 0\), а \(x^{2} - xy + y^{2} = (x - y)^{2} + xy > 0\) – равенство невозможно.
\(x - y \geqslant 2 \Rightarrow (x - y)\left( x^{2} + y^{2} \right) > x^{2} + y^{2} > x^{2} - xy + y^{2}\), т.к. \(xy > 0\) – равенство невозможно.

Ответ: Натуральных чисел для данного уравнения не существует.