Вопросы после параграфа §9 на странице 77, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

График функции \(y = kf(x)\), где \(k \ne 0\), можно получить, заменив каждую точку графика функции \(y = f(x)\) на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на \(k\): точка \((x_0;\ y_0)\) заменяется точкой \((x_0;\ ky_0)\).

Если \(k > 1\), то говорят, что график функции \(y = kf(x)\) получен из графика функции \(y = f(x)\) растяжением в \(k\) раз от оси абсцисс, а если \(0 < k < 1\), — сжатием в \(\frac{1}{k}\) раз к оси абсцисс. Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = -f(x)\) симметричны относительно оси абсцисс. Точки графика, лежащие на оси абсцисс, при такой замене остаются на месте, а остальные точки на ось абсцисс не попадают: при \(k \ne 0\) и \(y_0 \ne 0\) произведение \(ky_0\) отлично от нуля. Поэтому графики функций \(y = f(x)\) и \(y = kf(x)\) пересекают ось абсцисс в одних и тех же точках.

Например, точки \((1;\ 1)\), \((4;\ 2)\), \((9;\ 3)\) графика функции \(y = \sqrt{x}\) при \(k = 2\) заменяются точками \((1;\ 2)\), \((4;\ 4)\), \((9;\ 6)\) графика функции \(y = 2\sqrt{x}\), а при \(k = -2\) — точками \((1;\ -2)\), \((4;\ -4)\), \((9;\ -6)\) графика функции \(y = -2\sqrt{x}\).

Ответ: каждую точку графика функции \(y = f(x)\) заменить на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на \(k\).

Графиком функции \(y = ax^2\), где \(a \ne 0\), является парабола. Её получают из параболы \(y = x^2\), заменив каждую точку \((x_0;\ y_0)\) этой параболы на точку \((x_0;\ ay_0)\).

Например, график функции \(y = 3x^2\) — парабола, полученная растяжением параболы \(y = x^2\) в 3 раза от оси абсцисс. Она проходит через точки \((0;\ 0)\), \((1;\ 3)\), \((-1;\ 3)\), \((2;\ 12)\), \((-2;\ 12)\).

Ответ: парабола.

Вершиной параболы \(y = ax^2\) является начало координат — точка \((0;\ 0)\). При \(x = 0\) значение функции равно нулю, а при любом \(x \ne 0\) выполняется неравенство \(x^2 > 0\), поэтому значение \(ax^2\) имеет тот же знак, что и число \(a\). Значит, при \(a > 0\) вершина — самая низкая точка параболы, а при \(a < 0\) — самая высокая.

Например, вершиной каждой из парабол \(y = 5x^2\) и \(y = -0{,}3x^2\) является точка \((0;\ 0)\).

Ответ: точка \((0;\ 0)\) — начало координат.

Если \(a > 0\), то при любом \(x \ne 0\) значение \(ax^2\) положительно: все точки параболы, кроме вершины, лежат выше оси абсцисс, и ветви параболы направлены вверх. Если \(a < 0\), то при любом \(x \ne 0\) значение \(ax^2\) отрицательно: все точки параболы, кроме вершины, лежат ниже оси абсцисс, и ветви параболы направлены вниз.

Например, у параболы \(y = 2x^2\) ветви направлены вверх, так как \(2 > 0\), а у параболы \(y = -\frac{1}{2}x^2\) — вниз, так как \(-\frac{1}{2} < 0\).

Ответ: при \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз.

Выражение \(ax^2\) имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому областью определения функции \(y = ax^2\) является множество всех чисел: \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\).

Например, функция \(y = -4x^2\) определена и при \(x = -10\), и при \(x = 0{,}3\): \(-4 \cdot (-10)^2 = -400\), \(-4 \cdot 0{,}3^2 = -0{,}36\).

Ответ: \((-\infty;\ +\infty)\).

При любом \(x\) выполняется неравенство \(x^2 \geqslant 0\).

Если \(a > 0\), то \(ax^2 \geqslant 0\), т. е. отрицательных значений функция не принимает. Любое число \(b \geqslant 0\) является значением функции: число \(\frac{b}{a}\) неотрицательно, и при \(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\) получаем \(y = a \cdot \left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = a \cdot \frac{b}{a} = b\). Значит, при \(a > 0\) область значений функции — промежуток \([0;\ +\infty)\).

Если \(a < 0\), то \(ax^2 \leqslant 0\), т. е. положительных значений функция не принимает. Любое число \(b \leqslant 0\) является значением функции: число \(\frac{b}{a}\) снова неотрицательно, и при \(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\) получаем \(y = b\). Значит, при \(a < 0\) область значений функции — промежуток \((-\infty;\ 0]\).

Например, у функции \(y = 3x^2\) область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\), а у функции \(y = -3x^2\) — промежуток \((-\infty;\ 0]\).

Ответ: при \(a > 0\) — промежуток \([0;\ +\infty)\), при \(a < 0\) — промежуток \((-\infty;\ 0]\).

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента, причём \(x_2 > x_1\).

Если \(x_1\) и \(x_2\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), то обе части неравенства \(x_2 > x_1\) — неотрицательные числа, поэтому \(x_2^2 > x_1^2\). Если \(x_1\) и \(x_2\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0]\), то \(-x_2 < -x_1\), обе части этого неравенства — неотрицательные числа, поэтому \((-x_2)^2 < (-x_1)^2\), т. е. \(x_2^2 < x_1^2\).

Пусть \(a > 0\). Умножим обе части каждого из полученных неравенств на положительное число \(a\), знак неравенства сохранится. На промежутке \([0;\ +\infty)\):

\(x_2^2 > x_1^2; \qquad | \cdot a\)
\(ax_2^2 > ax_1^2.\)

На промежутке \((-\infty;\ 0]\):

\(x_2^2 < x_1^2; \qquad | \cdot a\)
\(ax_2^2 < ax_1^2.\)

Значит, при \(a > 0\) функция возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\).

Пусть \(a < 0\). Умножим обе части тех же неравенств на отрицательное число \(a\), изменив знак неравенства на противоположный. На промежутке \([0;\ +\infty)\):

\(x_2^2 > x_1^2; \qquad | \cdot a\)
\(ax_2^2 < ax_1^2.\)

На промежутке \((-\infty;\ 0]\):

\(x_2^2 < x_1^2; \qquad | \cdot a\)
\(ax_2^2 > ax_1^2.\)

Значит, при \(a < 0\) функция убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\) и возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0]\).

Например, функция \(y = 2x^2\) возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), а функция \(y = -\frac{1}{2}x^2\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\).

Ответ: при \(a > 0\) функция возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\); при \(a < 0\) функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\).

Вершина параболы \(y = ax^2\) — начало координат — не принадлежит ни одной координатной четверти. При любом \(x \ne 0\) значение \(ax^2\) имеет тот же знак, что и число \(a\).

Если \(a > 0\), то все остальные точки графика лежат выше оси абсцисс: точки с положительной абсциссой — в I четверти, с отрицательной абсциссой — во II четверти. Если \(a < 0\), то все остальные точки графика лежат ниже оси абсцисс: точки с отрицательной абсциссой — в III четверти, с положительной абсциссой — в IV четверти.

Например, парабола \(y = 2x^2\) проходит через точки \((1;\ 2)\) из I четверти и \((-1;\ 2)\) из II четверти, а парабола \(y = -\frac{1}{2}x^2\) — через точки \((-2;\ -2)\) из III четверти и \((2;\ -2)\) из IV четверти.

Ответ: при \(a > 0\) — в I и II координатных четвертях, при \(a < 0\) — в III и IV координатных четвертях.