Вопросы после параграфа §10 на странице 86, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

При каждом значении \(x\) значение функции \(y = f(x) + b\) получается из значения \(f(x)\) прибавлением одного и того же числа \(b\). Поэтому каждой точке \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = f(x)\) соответствует точка \((x_0;\ y_0 + b)\) графика функции \(y = f(x) + b\) — с той же абсциссой и с ординатой, изменённой на \(b\).

Следовательно, график функции \(y = f(x) + b\) можно получить в результате параллельного переноса графика функции \(y = f(x)\) вдоль оси ординат: на \(b\) единиц вверх, если \(b > 0\), и на \(-b\) единиц вниз, если \(b < 0\).

Например, график функции \(y = \sqrt{x} + 3\) получают параллельным переносом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 3 единицы вверх, а график функции \(y = \sqrt{x} - 2\) — на 2 единицы вниз: точки \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), \((4;\ 2)\), \((9;\ 3)\) переходят в точки \((0;\ -2)\), \((1;\ -1)\), \((4;\ 0)\), \((9;\ 1)\).

Ответ: параллельным переносом графика функции \(y = f(x)\) на \(b\) единиц вверх, если \(b > 0\), и на \(-b\) единиц вниз, если \(b < 0\).

График функции \(y = x^2 + b\) получают параллельным переносом параболы \(y = x^2\) вдоль оси ординат на \(|b|\) единиц: вверх, если \(b > 0\), и вниз, если \(b < 0\). При параллельном переносе получается фигура, равная исходной, поэтому графиком функции \(y = x^2 + b\) является парабола, равная параболе \(y = x^2\). Вершина \((0;\ 0)\) параболы \(y = x^2\) переходит в точку \((0;\ b)\) — вершину новой параболы; ветви по-прежнему направлены вверх.

Например, графиком функции \(y = x^2 + 3\) является парабола с вершиной \((0;\ 3)\), а графиком функции \(y = x^2 - 4\) — парабола с вершиной \((0;\ -4)\), которая пересекает ось абсцисс в точках \((-2;\ 0)\) и \((2;\ 0)\).

Ответ: парабола, равная параболе \(y = x^2\), с вершиной в точке \((0;\ b)\); её ветви направлены вверх.

Пусть точка \((x_0;\ y_0)\) принадлежит графику функции \(y = f(x)\), т. е. \(f(x_0) = y_0\). Значение функции \(y = f(x + a)\) в точке с абсциссой \(x_0 - a\) равно \(f((x_0 - a) + a) = f(x_0) = y_0\), значит, точка \((x_0 - a;\ y_0)\) принадлежит графику функции \(y = f(x + a)\). И наоборот, если точка \((x_1;\ y_1)\) принадлежит графику функции \(y = f(x + a)\), т. е. \(f(x_1 + a) = y_1\), то точка \((x_1 + a;\ y_1)\) принадлежит графику функции \(y = f(x)\). Поэтому все точки графика функции \(y = f(x + a)\) можно получить, заменив каждую точку графика функции \(y = f(x)\) на точку с той же ординатой и с абсциссой, уменьшенной на \(a\).

Следовательно, график функции \(y = f(x + a)\) можно получить в результате параллельного переноса графика функции \(y = f(x)\) вдоль оси абсцисс: на \(a\) единиц влево, если \(a > 0\), и на \(-a\) единиц вправо, если \(a < 0\).

Например, график функции \(y = \sqrt{x - 2}\) получают параллельным переносом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 2 единицы вправо, а график функции \(y = \sqrt{x + 2}\) — на 2 единицы влево: точки \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), \((4;\ 2)\), \((9;\ 3)\) переходят в точки \((-2;\ 0)\), \((-1;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((7;\ 3)\).

Ответ: параллельным переносом графика функции \(y = f(x)\) на \(a\) единиц влево, если \(a > 0\), и на \(-a\) единиц вправо, если \(a < 0\).

График функции \(y = (x + a)^2\) получают параллельным переносом параболы \(y = x^2\) вдоль оси абсцисс на \(|a|\) единиц: влево, если \(a > 0\), и вправо, если \(a < 0\). Поэтому графиком функции \(y = (x + a)^2\) является парабола, равная параболе \(y = x^2\). Вершина \((0;\ 0)\) параболы \(y = x^2\) переходит в точку \((-a;\ 0)\) — вершину новой параболы; ветви по-прежнему направлены вверх.

Например, графиком функции \(y = (x - 3)^2\) является парабола с вершиной \((3;\ 0)\), полученная переносом параболы \(y = x^2\) на 3 единицы вправо, а графиком функции \(y = (x + 1)^2\) — парабола с вершиной \((-1;\ 0)\), полученная переносом на 1 единицу влево.

Ответ: парабола, равная параболе \(y = x^2\), с вершиной в точке \((-a;\ 0)\); её ветви направлены вверх.

Графиком функции \(y = kx^2\), где \(k \ne 0\), является парабола с вершиной в начале координат; её ветви направлены вверх при \(k > 0\) и вниз при \(k < 0\). График функции \(y = k(x + a)^2 + b\) получают из этой параболы двумя параллельными переносами: сначала на \(|a|\) единиц вдоль оси абсцисс (влево при \(a > 0\), вправо при \(a < 0\)) — получается график функции \(y = k(x + a)^2\), затем на \(|b|\) единиц вдоль оси ординат (вверх при \(b > 0\), вниз при \(b < 0\)).

При параллельном переносе получается фигура, равная исходной. Поэтому графиком функции \(y = k(x + a)^2 + b\) является парабола, равная параболе \(y = kx^2\), и её ветви направлены так же.

Например, график функции \(y = 2(x + 1)^2 - 3\) получают так: параболу \(y = 2x^2\) переносят на 1 единицу влево — получается график функции \(y = 2(x + 1)^2\), затем его переносят на 3 единицы вниз. Графиком функции \(y = 2(x + 1)^2 - 3\) является парабола, равная параболе \(y = 2x^2\), с вершиной \((-1;\ -3)\) и ветвями, направленными вверх.

Ответ: парабола, равная параболе \(y = kx^2\); её ветви направлены вверх при \(k > 0\) и вниз при \(k < 0\).

Вершина параболы \(y = kx^2\) — точка \((0;\ 0)\). Параболу \(y = k(x + a)^2 + b\) получают из неё параллельными переносами: при переносе на \(|a|\) единиц вдоль оси абсцисс (влево при \(a > 0\), вправо при \(a < 0\)) вершина переходит в точку \((-a;\ 0)\), а при переносе на \(|b|\) единиц вдоль оси ординат (вверх при \(b > 0\), вниз при \(b < 0\)) — в точку \((-a;\ b)\). Абсцисса вершины — то значение \(x\), при котором \(x + a = 0\), а ордината вершины равна \(b\).

Например, вершина параболы \(y = 2(x + 1)^2 - 3\) — точка \((-1;\ -3)\), а вершина параболы \(y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 5\) — точка \((4;\ 5)\).

Ответ: \((-a;\ b)\).