Страница 71 номер 278, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что функция \(y = \frac{k}{x}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) при \(k > 0\) и возрастает на каждом из этих промежутков при \(k < 0\).
\(y = \dfrac{k}{x}\)
Имеем \(x_{1} < x_{2}\) на одном из промежутков \(( - \infty;\ 0)\) и \((0;\ + \infty)\), тогда \(x_{1} - x_{2} < 0\) или \(x_{2} - x_{1} > 0\)
\(y_{1} = \dfrac{k}{x_{1}};\ y_{2} = \dfrac{k}{x_{2}}\)
\(y_{1} - y_{2} = \dfrac{k}{x_{1}} - \dfrac{k}{x_{2}}\)
\(y_{1} - y_{2} = k \cdot \dfrac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}}\)
Произведение двух отрицательных или двух положительных чисел – положительное.
\(\begin{cases} x_{2} - x_{1} > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \end{cases}\ \Rightarrow \dfrac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} > 0\)
При положительном \(k\):
\(y_{1} - y_{2} = k \cdot \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} > 0 \Rightarrow y_{1} - y_{2} > 0 \Rightarrow y_{1} > y_{2}\) функция убывает на каждом из этих промежутков
При отрицательном \(k\):
\(y_{1} - y_{2} = k \cdot \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} < 0 \Rightarrow y_{1} - y_{2} < 0 \Rightarrow y_{1} < y_{2}\) функция возрастает на каждом из этих промежутков
