Страница 87 номер 8.28, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(r = 13\) см — радиус основания цилиндра
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма, вписанная в цилиндр
\(AC = BC\)
\(AB = 24\) см
\(M\) — середина \(AB\)
\(C_1M = 30\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Призма, вписанная в цилиндр, прямая, и её боковые рёбра — образующие цилиндра; поэтому высота цилиндра \(h = CC_1\), а ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания. Вершины \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности нижнего основания цилиндра; пусть \(O\) — её центр.
Хорда \(AB\) короче диаметра, равного 26 см, поэтому не проходит через центр \(O\), и треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA = OB = 13\) см); его медиана \(OM\) является высотой: \(OM \perp AB\). Из прямоугольного треугольника \(AOM\): \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\) (см).
Точки \(O\) и \(C\) равноудалены от концов отрезка \(AB\) (\(OA = OB\), \(CA = CB\)), поэтому лежат на серединном перпендикуляре к \(AB\) в плоскости основания, то есть на прямой \(OM\). Значит, \(C\) — конец диаметра окружности основания, лежащего на прямой \(OM\). Отрезок \(CM\) — проекция отрезка \(C_1M\) на плоскость основания, треугольник \(C_1CM\) прямоугольный (\(\angle C_1CM = 90^\circ\)), поэтому \(h = CC_1 = \sqrt{C_1M^2 - CM^2}\).
Первый случай: точки \(C\) и \(M\) лежат по разные стороны от центра \(O\) (центр внутри треугольника \(ABC\)). Тогда \(CM = CO + OM = 13 + 5 = 18\) (см) и
\[\begin{aligned} h &= \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot 13 \cdot 24 = 624\pi \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Второй случай: точки \(C\) и \(M\) лежат по одну сторону от центра \(O\) (центр вне треугольника \(ABC\)). Тогда \(CM = CO - OM = 13 - 5 = 8\) (см) и
\[\begin{aligned} h &= \sqrt{30^2 - 8^2} = \sqrt{836} = 2\sqrt{209} \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot 13 \cdot 2\sqrt{209} = 52\pi\sqrt{209} \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(624\pi\) см\(^2\) или \(52\pi\sqrt{209}\) см\(^2\).
Дано:
\(r = 13\) см — радиус основания цилиндра
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма, вписанная в цилиндр
\(AC = BC\)
\(AB = 24\) см
\(M\) — середина \(AB\)
\(C_1M = 30\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\) цилиндра.
Решение: Призма, вписанная в цилиндр, прямая, и её боковые рёбра — образующие цилиндра; поэтому высота цилиндра \(h = CC_1\), а ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания. Вершины \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности нижнего основания цилиндра; пусть \(O\) — её центр.
Хорда \(AB\) короче диаметра, равного 26 см, поэтому не проходит через центр \(O\), и треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA = OB = 13\) см); его медиана \(OM\) является высотой: \(OM \perp AB\). Из прямоугольного треугольника \(AOM\): \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\) (см).
Точки \(O\) и \(C\) равноудалены от концов отрезка \(AB\) (\(OA = OB\), \(CA = CB\)), поэтому лежат на серединном перпендикуляре к \(AB\) в плоскости основания, то есть на прямой \(OM\). Значит, \(C\) — конец диаметра окружности основания, лежащего на прямой \(OM\). Отрезок \(CM\) — проекция отрезка \(C_1M\) на плоскость основания, треугольник \(C_1CM\) прямоугольный (\(\angle C_1CM = 90^\circ\)), поэтому \(h = CC_1 = \sqrt{C_1M^2 - CM^2}\). Возможны два случая.
Первый случай: точки \(C\) и \(M\) лежат по разные стороны от центра \(O\) (центр внутри треугольника \(ABC\)). Тогда \(CM = CO + OM = 13 + 5 = 18\) (см) и
\[\begin{aligned} h &= \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot 13 \cdot 24 = 624\pi \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Второй случай: точки \(C\) и \(M\) лежат по одну сторону от центра \(O\) (центр вне треугольника \(ABC\)). Тогда \(CM = CO - OM = 13 - 5 = 8\) (см) и
\[\begin{aligned} h &= \sqrt{30^2 - 8^2} = \sqrt{836} = 2\sqrt{209} \text{ (см)}; \\ S_{\text{бок}} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot 13 \cdot 2\sqrt{209} = 52\pi\sqrt{209} \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]
Ответ: \(624\pi\) см\(^2\) или \(52\pi\sqrt{209}\) см\(^2\).
