Страница 143 номер 15.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
пирамида с вершиной \(P\), \(PH\) — её высота
двугранные углы при рёбрах основания равны
\(S_{\text{осн}} = S\)
\(O\) — центр вписанного шара, \(PO : OH = 2 : 1\)

Найти: \(S_{\text{полн}}\).

Решение: Пусть \(\varphi\) — величина двугранных углов пирамиды при рёбрах основания. В пирамиду вписан шар, поэтому она выпуклая; все её двугранные углы при рёбрах основания равны, поэтому проекция \(H\) вершины \(P\) на плоскость основания — центр окружности, вписанной в основание. Если двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, то в неё можно вписать шар, и его центр — точка пересечения высоты пирамиды с биссектором двугранного угла при ребре основания; значит, центр \(O\) шара лежит на высоте \(PH\).

Пусть \(AB\) — одно из рёбер основания. Проведём \(HM \perp AB\). \(HM\) — проекция наклонной \(PM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(PM \perp AB\), и \(\angle PMH\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle PMH = \varphi\).

Прямая \(AB\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(HM\) и \(PM\) плоскости \(PHM\), поэтому \(AB \perp PHM\). В плоскости \(PHM\) проведём \(OK \perp PM\). Прямая \(OK\) лежит в плоскости \(PHM\), поэтому \(OK \perp AB\); значит, \(OK \perp PAB\). Плоскости граней пирамиды касаются шара, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(OK = OH = r\), где \(r\) — радиус шара. Точка \(O\) лежит внутри угла \(PMH\) и равноудалена от его сторон, поэтому \(MO\) — биссектриса угла \(PMH\) треугольника \(PHM\).

По свойству биссектрисы треугольника \(\frac{PM}{MH} = \frac{PO}{OH} = 2\). Из прямоугольного треугольника \(PHM\) (\(\angle PHM = 90^\circ\)): \(\cos\varphi = \frac{MH}{PM} = \frac{1}{2}\).

Все двугранные углы выпуклой пирамиды при рёбрах основания равны \(\varphi\), поэтому площадь её боковой поверхности равна \(\frac{S_{\text{осн}}}{\cos\varphi}\):

\[\begin{aligned} S_{\text{бок}} &= \frac{S}{\cos\varphi} = 2S; \\ S_{\text{полн}} &= S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = S + 2S = 3S. \end{aligned}\]

Ответ: \(3S\).