Страница 136 номер 14.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(SABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — прямоугольник
\(AB = a\), \(BC = 2a\)
\(SM \perp ABC\), \(M\) — середина \(AB\)
\(SM = a\)

Найти: \(R\) — радиус описанной сферы.

Решение: Плоскость \(SAB\) проходит через прямую \(SM\), перпендикулярную плоскости основания, поэтому \(SAB \perp ABC\). Наклонные \(SA\) и \(SB\) имеют равные проекции \(MA = MB = \frac{a}{2}\), поэтому \(SA = SB\) и \(SA^2 = SM^2 + MA^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}\).

Пусть \(O_2\) — центр окружности, описанной около треугольника \(SAB\). Прямая \(SM\) — серединный перпендикуляр к хорде \(AB\) этой окружности, поэтому проходит через её центр \(O_2\) и пересекает окружность, кроме точки \(S\), ещё в точке \(S_1\); отрезок \(SS_1\) — диаметр. Середина \(M\) хорды \(AB\) лежит внутри окружности, поэтому точки \(S\) и \(S_1\) лежат по разные стороны от точки \(M\). Вписанный угол \(SAS_1\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle SAS_1 = 90^\circ\), и \(AM\) — высота прямоугольного треугольника \(SAS_1\), проведённая к гипотенузе. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: \(SA^2 = SM \cdot SS_1\), откуда \(SS_1 = \frac{SA^2}{SM} = \frac{5a^2}{4a} = \frac{5a}{4}\). Точка \(O_2\) — середина диаметра \(SS_1\), поэтому \(O_2S = \frac{5a}{8}\); так как \(\frac{5a}{8} < a = SM\), точка \(O_2\) лежит на отрезке \(SM\) и \(MO_2 = a - \frac{5a}{8} = \frac{3a}{8}\).

Пусть \(O_1\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), то есть центр описанной около него окружности (диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам). Отрезок \(MO_1\) — средняя линия треугольника \(ABC\): \(MO_1 \parallel BC\), поэтому \(MO_1 \perp AB\), и \(MO_1 = \frac{BC}{2} = a\).

Центр \(O\) сферы равноудалён от вершин прямоугольника, поэтому лежит на прямой \(l_1\), перпендикулярной плоскости основания и проходящей через \(O_1\); он равноудалён и от вершин треугольника \(SAB\), поэтому лежит на прямой \(l_2\), перпендикулярной плоскости \(SAB\) и проходящей через \(O_2\). Прямая \(MO_1\) лежит в плоскости основания и перпендикулярна прямой \(AB\), по которой пересекаются перпендикулярные плоскости \(ABC\) и \(SAB\), поэтому \(MO_1 \perp SAB\). Прямые \(l_1\) и \(SM\) перпендикулярны плоскости основания и проходят через различные её точки \(O_1\) и \(M\), поэтому параллельны; прямые \(l_2\) и \(MO_1\) перпендикулярны плоскости \(SAB\) и проходят через различные её точки \(O_2\) и \(M\), поэтому тоже параллельны. Прямая \(l_1\) проходит через точку \(O_1\) плоскости \(SMO_1\) параллельно прямой \(SM\) этой плоскости, а \(l_2\) — через точку \(O_2\) прямой \(SM\) параллельно \(MO_1\); значит, обе прямые лежат в плоскости \(SMO_1\), и так как \(SM \perp MO_1\), то \(l_1 \perp l_2\) — они пересекаются в точке \(O\). У четырёхугольника \(O_2MO_1O\) углы при вершинах \(M\), \(O_1\), \(O_2\) прямые, поэтому он — прямоугольник: \(OO_2 = MO_1 = a\).

Прямая \(OO_2\) перпендикулярна плоскости \(SAB\), поэтому треугольник \(OO_2S\) прямоугольный (\(\angle OO_2S = 90^\circ\)), \(OS = R\):

\[R = \sqrt{OO_2^2 + O_2S^2} = \sqrt{a^2 + \frac{25a^2}{64}} = \sqrt{\frac{89a^2}{64}} = \frac{a\sqrt{89}}{8}.\]

Ответ: \(\frac{a\sqrt{89}}{8}\).