Страница 142 номер 15.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
шар с центром \(O\) и радиусом \(R\) вписан в призму

Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности призмы.

Решение: Правильная призма является прямой. Если в прямую призму можно вписать сферу, то в основание призмы можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы. Значит, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник \(ABC\), равен \(R\), а высота призмы \(AA_1 = 2R\). Центр \(O\) шара, вписанного в правильную призму, — середина отрезка \(O_1O_2\), соединяющего центры оснований призмы.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник \(ABC\), равен \(\frac{AB\sqrt{3}}{6}\), поэтому \(\frac{AB\sqrt{3}}{6} = R\), откуда \(AB = \frac{6R}{\sqrt{3}} = 2R\sqrt{3}\).

Основания призмы — правильные треугольники со стороной \(AB\), боковые грани — три равных прямоугольника со сторонами \(AB\) и \(AA_1\):

\[\begin{aligned} S_{\text{осн}} &= \frac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3R^2\sqrt{3}; \\ S_{\text{бок}} &= 3AB \cdot AA_1 = 3 \cdot 2R\sqrt{3} \cdot 2R = 12R^2\sqrt{3}; \\ S_{\text{полн}} &= S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 12R^2\sqrt{3} + 6R^2\sqrt{3} = 18R^2\sqrt{3}. \end{aligned}\]

Ответ: \(18R^2\sqrt{3}\).