Страница 143 номер 15.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\)
двугранные углы при рёбрах основания равны \(\beta\)
шар вписан в пирамиду
Найти: \(r\) — радиус шара.
Решение: Пусть \(SH\) — высота пирамиды. В пирамиду вписан шар, поэтому она выпуклая; все её двугранные углы при рёбрах основания равны, поэтому проекция \(H\) вершины \(S\) на плоскость основания — центр окружности, вписанной в основание. Если двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, то в неё можно вписать шар, и его центр \(O\) — точка пересечения высоты пирамиды с биссектором двугранного угла при ребре основания; значит, \(O\) лежит на высоте \(SH\).
Проведём \(HM \perp AB\). Центр вписанной окружности удалён от сторон ромба на её радиус, поэтому \(HM\) — радиус окружности, вписанной в ромб. \(HM\) — проекция наклонной \(SM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(SM \perp AB\), и \(\angle SMH\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle SMH = \beta\).
Окружность, вписанная в ромб, касается его параллельных сторон \(AB\) и \(CD\), поэтому её диаметр равен расстоянию между этими сторонами, то есть высоте ромба \(a\sin\alpha\). Значит, \(HM = \frac{a\sin\alpha}{2}\).
Прямая \(AB\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(HM\) и \(SM\) плоскости \(SHM\), поэтому \(AB \perp SHM\). В плоскости \(SHM\) проведём \(OK \perp SM\). Прямая \(OK\) лежит в плоскости \(SHM\), поэтому \(OK \perp AB\); значит, \(OK \perp SAB\). Плоскости граней пирамиды касаются шара, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояния от центра шара до плоскостей граней равны его радиусу: \(OK = r\) и \(OH = r\) (\(OH\) — перпендикуляр к плоскости основания).
Точка \(O\) лежит внутри угла \(SMH\) и равноудалена от его сторон, поэтому \(MO\) — биссектриса этого угла: \(\angle OMH = \frac{\beta}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(OHM\) (\(\angle OHM = 90^\circ\)):
\[r = OH = HM \operatorname{tg}\angle OMH = \frac{a\sin\alpha}{2}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}a\sin\alpha\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\).
Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\)
двугранные углы при рёбрах основания равны \(\beta\)
шар вписан в пирамиду
Найти: \(r\) — радиус шара.
Решение: Пусть \(SH\) — высота пирамиды. В пирамиду вписан шар, поэтому она выпуклая; все её двугранные углы при рёбрах основания равны, поэтому проекция \(H\) вершины \(S\) на плоскость основания — центр окружности, вписанной в основание. Центр окружности, вписанной в ромб, — точка пересечения его диагоналей. Если двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, то в неё можно вписать шар, и его центр \(O\) — точка пересечения высоты пирамиды с биссектором двугранного угла при ребре основания; значит, \(O\) лежит на высоте \(SH\).
Проведём \(HM \perp AB\). Центр вписанной окружности удалён от сторон ромба на её радиус, поэтому \(HM\) — радиус окружности, вписанной в ромб. \(HM\) — проекция наклонной \(SM\) на плоскость основания, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(SM \perp AB\), и \(\angle SMH\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\): \(\angle SMH = \beta\).
Окружность, вписанная в ромб, касается его параллельных сторон \(AB\) и \(CD\), поэтому её диаметр равен расстоянию между этими сторонами, то есть высоте ромба \(a\sin\alpha\). Значит, \(HM = \frac{a\sin\alpha}{2}\).
Прямая \(AB\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(HM\) и \(SM\) плоскости \(SHM\), поэтому \(AB \perp SHM\). В плоскости \(SHM\) проведём \(OK \perp SM\). Прямая \(OK\) лежит в плоскости \(SHM\), поэтому \(OK \perp AB\); значит, \(OK \perp SAB\). Плоскости граней пирамиды касаются шара, а касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояния от центра шара до плоскостей граней равны его радиусу: \(OK = r\) и \(OH = r\) (\(OH\) — перпендикуляр к плоскости основания).
Точка \(O\) лежит внутри угла \(SMH\) и равноудалена от его сторон, поэтому \(MO\) — биссектриса этого угла: \(\angle OMH = \frac{\beta}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(OHM\) (\(\angle OHM = 90^\circ\)):
\[r = OH = HM \operatorname{tg}\angle OMH = \frac{a\sin\alpha}{2}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}a\sin\alpha\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\).
