Страница 136 номер 14.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма, вписанная в сферу
\(AB = a\) — сторона основания
\(AA_1 = b\) — боковое ребро
сечение призмы проходит через центр сферы и сторону \(AB\) основания

Найти: площадь сечения.

Решение: Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), \(O\) — центр сферы. Правильная призма прямая, и около её основания можно описать окружность; центр сферы, описанной около такой призмы, — середина отрезка \(O_1O_2\), соединяющего центры окружностей, описанных около оснований. Прямая \(O_1O_2\) перпендикулярна плоскостям оснований, \(O_1O_2 = AA_1 = b\), поэтому \(OO_1 = OO_2 = \frac{b}{2}\).

Пусть \(K\) и \(K_1\) — середины рёбер \(AB\) и \(A_1B_1\). Медианы \(CK\) и \(C_1K_1\) правильных треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — их высоты; центры \(O_1\) и \(O_2\) лежат на них и делят их в отношении \(2 : 1\), считая от вершин: \(O_1K = O_2K_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), \(O_2C_1 = \frac{a\sqrt{3}}{3}\), \(C_1K_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Отрезки \(KK_1\) и \(CC_1\) параллельны и равны боковому ребру и перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому \(KCC_1K_1\) — прямоугольник; в его плоскости лежат точки \(O_1\), \(O_2\), а значит, и середина \(O\) отрезка \(O_1O_2\).

Прямая \(KO\) лежит в плоскости этого прямоугольника и не параллельна прямой \(KC\), поэтому пересекает параллельную ей прямую \(K_1C_1\) в некоторой точке \(L\), причём точка \(O\) лежит между \(K\) и \(L\). Прямоугольные треугольники \(OO_1K\) и \(OO_2L\) равны по катету и острому углу (\(OO_1 = OO_2\), углы при вершине \(O\) вертикальные), поэтому \(O_2L = O_1K = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) и \(OL = OK\). Точки \(K\) и \(L\) лежат по разные стороны от прямой \(O_1O_2\), поэтому точка \(L\) лежит на луче \(O_2C_1\), а так как \(O_2L < O_2C_1\), — на отрезке \(O_2C_1\): \(C_1L = \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).

Плоскость сечения проходит через точки \(K\) и \(O\), а значит, и через точку \(L\) прямой \(KO\). Плоскости оснований параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает плоскость \(A_1B_1C_1\) по прямой, проходящей через точку \(L\) параллельно \(AB\), то есть параллельно \(A_1B_1\). Точка \(L\) лежит на высоте \(C_1K_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\) между точками \(C_1\) и \(K_1\), поэтому эта прямая пересекает рёбра \(C_1A_1\) и \(C_1B_1\) в некоторых точках \(P\) и \(Q\). Треугольник \(C_1PQ\) подобен треугольнику \(C_1A_1B_1\) (\(PQ \parallel A_1B_1\)), коэффициент подобия равен отношению их высот \(C_1L\) и \(C_1K_1\): \(\frac{a\sqrt{3}}{6} : \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}\); значит, \(PQ = \frac{a}{3}\). Сечение — трапеция \(ABQP\) с основаниями \(AB = a\) и \(PQ = \frac{a}{3}\).

Отрезок \(KL\) — высота трапеции: \(OA = OB\), поэтому медиана \(OK\) равнобедренного треугольника \(AOB\) является его высотой, то есть \(KL \perp AB\), а \(PQ \parallel AB\). Из прямоугольного треугольника \(OO_1K\): \(OK = \sqrt{OO_1^2 + O_1K^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{12}}\), поэтому \(KL = 2OK = \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}}\).

\[S_{ABQP} = \frac{AB + PQ}{2} \cdot KL = \frac{a + \frac{a}{3}}{2} \cdot \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}} = \frac{2a\sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}}}{3}.\]

Ответ: \(\frac{2a\sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}}}{3}\).