Вопросы после параграфа §15 на странице 142, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Многогранник называют описанным около сферы, если все его грани касаются сферы. При этом сферу называют вписанной в многогранник. Если многогранник описан около сферы, то также говорят, что он описан около шара, ограниченного этой сферой. Например, куб — выпуклый многогранник, а точка пересечения его диагоналей принадлежит ему и равноудалена от всех плоскостей его граней, поэтому в куб можно вписать сферу.

Ответ: многогранник называют описанным около сферы, если все его грани касаются сферы; при этом сферу называют вписанной в многогранник.

Если многогранник описан около сферы, то центр сферы равноудалён от всех плоскостей, содержащих его грани. Верно и такое утверждение: если для данного выпуклого многогранника существует принадлежащая ему точка, равноудалённая от всех плоскостей, содержащих его грани, то в этот многогранник можно вписать сферу. Выпуклость здесь существенна: если в многогранник можно вписать сферу, то этот многогранник является выпуклым.

Такая точка существует в любом тетраэдре, поэтому в любой тетраэдр можно вписать сферу. Сферу можно вписать и в любую правильную пирамиду (центр сферы принадлежит высоте пирамиды), и в правильную призму, высота которой равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы (центр сферы — середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы).

Ответ: сферу можно вписать в выпуклый многогранник, для которого существует принадлежащая ему точка, равноудалённая от всех плоскостей, содержащих его грани; например, в любой тетраэдр, в любую правильную пирамиду, в правильную призму, высота которой равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

Если сфера касается граней двугранного угла, то её центр принадлежит биссектору этого угла. Следовательно, если сфера вписана в многогранник, то её центр принадлежит биссекторам всех двугранных углов многогранника при его рёбрах. Верно и такое утверждение: если все биссекторы двугранных углов выпуклого многогранника при его рёбрах имеют общую точку, то в этот многогранник можно вписать сферу.

Ответ: все биссекторы двугранных углов выпуклого многогранника при его рёбрах должны иметь общую точку.

Двугранные углы правильной пирамиды при рёбрах основания равны. Если двугранные углы пирамиды при рёбрах её основания равны, то каждая точка высоты пирамиды равноудалена от плоскостей её боковых граней, а точка пересечения биссектора двугранного угла при ребре основания с высотой пирамиды равноудалена от всех плоскостей, содержащих грани пирамиды. Поэтому в любую правильную пирамиду можно вписать сферу с центром на высоте пирамиды. Другого центра у вписанной сферы нет. Центр любой вписанной сферы — в том числе найденная точка высоты — принадлежит биссекторам двугранных углов пирамиды при всех рёбрах основания. Биссекторы при двух рёбрах основания, выходящих из одной вершины, лежат в различных плоскостях (плоскость, содержащая оба ребра, — плоскость основания); обе эти плоскости проходят через эту вершину и найденную точку, поэтому пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки. Плоскость биссектора при ребре основания, не проходящем через эту вершину, пересекает плоскость основания по прямой, содержащей это ребро, поэтому вершины не содержит и пересекает названную прямую только в найденной точке. Значит, центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, принадлежит высоте пирамиды.

Ответ: центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, принадлежит высоте пирамиды.

Если в основание прямой призмы можно вписать окружность и высота призмы равна диаметру этой окружности, то в такую призму можно вписать сферу. Действительно, пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры окружностей радиуса \(r\), вписанных в основания. Боковые грани прямой призмы перпендикулярны плоскости основания, поэтому точка \(O_1\) удалена от плоскости каждой боковой грани на столько же, на сколько от прямой, содержащей лежащую в этой грани сторону основания, — на расстояние \(r\). Прямая \(O_1O_2\) параллельна плоскости каждой боковой грани, поэтому любая точка прямой \(O_1O_2\) удалена от плоскостей боковых граней на расстояние \(r\). Отрезок \(O_1O_2\) перпендикулярен плоскостям оснований и равен \(2r\), поэтому его середина удалена на \(r\) и от плоскостей оснований, то есть равноудалена от всех плоскостей граней призмы.

Справедливо и такое утверждение: если в прямую призму можно вписать сферу, то в основание призмы можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы.

Ответ: в основание прямой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Основание правильной призмы — правильный многоугольник, и в него можно вписать окружность. В правильную призму, высота которой равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы, можно вписать сферу. Обратно, правильная призма является прямой; если в неё можно вписать сферу, то радиус окружности, вписанной в основание, равен радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы, то есть диаметру этой окружности.

Ответ: высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

В правильную призму, высота которой равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы, можно вписать сферу, и центр этой сферы является серединой отрезка, соединяющего центры оснований призмы: каждая точка этого отрезка удалена от плоскостей боковых граней на радиус окружности, вписанной в основание (отрезок параллелен плоскостям боковых граней, а они перпендикулярны плоскости основания), а его середина удалена на то же расстояние и от плоскостей оснований. Другого центра у вписанного шара нет. Его центр принадлежит призме и равноудалён от плоскостей двух параллельных оснований, поэтому лежит посередине между ними. Прямая, проходящая через центр шара параллельно боковым рёбрам, параллельна плоскостям боковых граней, а эти плоскости перпендикулярны плоскости основания, поэтому точка, в которой эта прямая пересекает основание, удалена от прямых, содержащих стороны основания, на радиус шара. Точка основания, равноудалённая от прямых, содержащих все его стороны, — центр окружности, вписанной в основание, то есть центр основания. Значит, центр шара лежит на отрезке, соединяющем центры оснований, посередине между основаниями — в его середине.

Ответ: центр шара, вписанного в правильную призму, — середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.