Страница 136 номер 14.36, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — равногранный тетраэдр
\(a\), \(b\), \(c\) — длины его рёбер

Найти: \(R\) — радиус описанной сферы.

Решение: Скрещивающиеся рёбра равногранного тетраэдра равны, поэтому \(DA = BC = a\), \(DB = AC = b\), \(DC = AB = c\).

Опишем около тетраэдра параллелепипед: рёбра тетраэдра — диагонали граней параллелепипеда, причём скрещивающиеся рёбра тетраэдра лежат в противолежащих гранях. Параллелепипед, описанный около равногранного тетраэдра, является прямоугольным: в каждой его грани одна диагональ — ребро тетраэдра, а другая равна скрещивающемуся с ним ребру, лежащему в противолежащей грани (противолежащие грани параллелепипеда равны), то есть диагонали грани равны, и грань — прямоугольник.

Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — измерения этого прямоугольного параллелепипеда, обозначенные так, что рёбра \(DA\) и \(BC\) лежат в гранях с измерениями \(x\) и \(z\), рёбра \(DB\) и \(AC\) — в гранях с измерениями \(y\) и \(z\), рёбра \(DC\) и \(AB\) — в гранях с измерениями \(x\) и \(y\) (каждая пара противолежащих граней — равные прямоугольники). Каждое ребро тетраэдра — диагональ прямоугольной грани, поэтому по теореме Пифагора

\[\begin{aligned} x^2 + z^2 &= a^2; \\ y^2 + z^2 &= b^2; \\ x^2 + y^2 &= c^2. \end{aligned}\]

Сложив эти равенства, получим \(2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2\).

Вершины тетраэдра — вершины параллелепипеда, поэтому сфера, описанная около прямоугольного параллелепипеда, является и сферой, описанной около тетраэдра. Её центр \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелепипеда, а радиус равен половине диагонали \(d\) параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

\[d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}.\]

\[R = \frac{d}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}} = \frac{\sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2)}}{4}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2)}}{4}\).