Страница 143 номер 15.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — \(\sqrt{21}\) см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.
Дано:
\(SABC\) — правильная треугольная пирамида
\(AB = 6\) см, \(SA = \sqrt{21}\) см
сфера с центром \(O\) вписана в пирамиду
Найти: \(r\) — радиус сферы.
Решение: Пирамида правильная, поэтому центр \(O\) вписанной сферы принадлежит высоте \(SH\) пирамиды, где \(H\) — центр правильного треугольника \(ABC\). Грани пирамиды касаются сферы, а касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому центр сферы удалён от плоскости каждой грани на расстояние \(r\). Отрезок \(OH\) перпендикулярен плоскости основания, значит, \(OH = r\).
Пусть \(M\) — середина ребра \(BC\). Медиана \(AM\) правильного треугольника \(ABC\) является его высотой и проходит через центр \(H\), причём \(AH : HM = 2 : 1\). Отрезок \(SM\) — медиана равнобедренного треугольника \(BSC\), проведённая к основанию, поэтому \(SM \perp BC\), то есть \(SM\) — апофема. Прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AM\) и \(SM\) плоскости \(SAM\), поэтому \(BC \perp SAM\). В плоскости \(SAM\) проведём \(OK \perp SM\), точка \(K\) принадлежит апофеме \(SM\). Поскольку \(BC \perp SAM\) и \(OK \subset SAM\), то \(BC \perp OK\). Имеем: \(OK \perp SM\), \(OK \perp BC\), следовательно, \(OK \perp BSC\). Значит, отрезок \(OK\) — расстояние от центра сферы до плоскости грани \(BSC\), \(OK = r\).
Плоскость \(SAM\) проходит через высоту \(SH\) (точка \(H\) лежит на \(AM\)), а значит, и через центр \(O\) сферы; она пересекает сферу по окружности радиуса \(r\) с центром \(O\), а пирамиду — по треугольнику \(SAM\).
Сторона правильного треугольника \(ABC\) равна 6 см, поэтому \(AM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) (см), \(AH = \frac{2}{3}AM = 2\sqrt{3}\) (см), \(HM = \frac{1}{3}AM = \sqrt{3}\) (см). Из прямоугольных треугольников \(SHA\) и \(SHM\) (\(\angle SHA = \angle SHM = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} SH &= \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{21 - 12} = 3 \text{ (см)}; \\ SM &= \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Прямоугольные треугольники \(KSO\) и \(HSM\) имеют общий острый угол \(S\), поэтому они подобны и \(\frac{OK}{HM} = \frac{SO}{SM}\), где \(OK = r\), \(SO = SH - r = 3 - r\).
\[\begin{aligned} \frac{r}{\sqrt{3}} &= \frac{3 - r}{2\sqrt{3}}; \qquad | \cdot 2\sqrt{3} \\ 2r &= 3 - r; \\ 3r &= 3; \qquad | : 3 \\ r &= 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1 см.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — \(\sqrt{21}\) см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.
Дано:
\(SABC\) — правильная треугольная пирамида
\(AB = 6\) см, \(SA = \sqrt{21}\) см
сфера с центром \(O\) вписана в пирамиду
Найти: \(r\) — радиус сферы.
Решение: Пирамида правильная, поэтому центр \(O\) вписанной сферы принадлежит высоте \(SH\) пирамиды, где \(H\) — центр правильного треугольника \(ABC\). Грани пирамиды касаются сферы, а касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому центр сферы удалён от плоскости каждой грани на расстояние \(r\). Отрезок \(OH\) перпендикулярен плоскости основания, значит, \(OH = r\).
Пусть \(M\) — середина ребра \(BC\). Медиана \(AM\) правильного треугольника \(ABC\) является его высотой и проходит через центр \(H\), причём \(AH : HM = 2 : 1\). Отрезок \(SM\) — медиана равнобедренного треугольника \(BSC\), проведённая к основанию, поэтому \(SM \perp BC\), то есть \(SM\) — апофема. Прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AM\) и \(SM\) плоскости \(SAM\), поэтому \(BC \perp SAM\). В плоскости \(SAM\) проведём \(OK \perp SM\), точка \(K\) принадлежит апофеме \(SM\). Поскольку \(BC \perp SAM\) и \(OK \subset SAM\), то \(BC \perp OK\). Имеем: \(OK \perp SM\), \(OK \perp BC\), следовательно, \(OK \perp BSC\). Значит, отрезок \(OK\) — расстояние от центра сферы до плоскости грани \(BSC\), \(OK = r\).
Плоскость \(SAM\) проходит через высоту \(SH\) (точка \(H\) лежит на \(AM\)), а значит, и через центр \(O\) сферы; она пересекает сферу по окружности радиуса \(r\) с центром \(O\), а пирамиду — по треугольнику \(SAM\).
Сторона правильного треугольника \(ABC\) равна 6 см, поэтому \(AM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) (см), \(AH = \frac{2}{3}AM = 2\sqrt{3}\) (см), \(HM = \frac{1}{3}AM = \sqrt{3}\) (см). Из прямоугольных треугольников \(SHA\) и \(SHM\) (\(\angle SHA = \angle SHM = 90^\circ\)):
\[\begin{aligned} SH &= \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{21 - 12} = 3 \text{ (см)}; \\ SM &= \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Прямоугольные треугольники \(KSO\) и \(HSM\) имеют общий острый угол \(S\), поэтому они подобны и \(\frac{OK}{HM} = \frac{SO}{SM}\), где \(OK = r\), \(SO = SH - r = 3 - r\). Получаем:
\[\begin{aligned} \frac{r}{\sqrt{3}} &= \frac{3 - r}{2\sqrt{3}}; \qquad | \cdot 2\sqrt{3} \\ 2r &= 3 - r; \\ 3r &= 3; \qquad | : 3 \\ r &= 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1 см.
