Страница 137 номер 14.37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp AD\)
\(BC = 12\) см — меньшее основание
\(AB = 4\sqrt{3}\) см — меньшая боковая сторона
один из углов трапеции равен \(120^\circ\)

Найти: \(S_{ABCD}\).

Решение: Углы \(A\) и \(B\) трапеции прямые. Проведём высоту \(CH\). Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник, поэтому \(CH = AB\) и \(AH = BC = 12\) см; так как \(AD > BC\), точка \(H\) лежит на отрезке \(AD\). Боковая сторона \(CD\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(CHD\), поэтому \(CD > CH = AB\): меньшая боковая сторона — та, что перпендикулярна основаниям, \(AB = CH = 4\sqrt{3}\) см.

Угол \(D\) трапеции — острый угол прямоугольного треугольника \(CHD\), а углы \(C\) и \(D\) — односторонние при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(CD\), их сумма равна \(180^\circ\). Значит, угол \(C\) тупой, и угол \(120^\circ\) — это угол \(C\): \(\angle BCD = 120^\circ\), \(\angle CDA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

Из прямоугольного треугольника \(CHD\): \(HD = \frac{CH}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) (см), \(AD = AH + HD = 12 + 4 = 16\) (см).

\[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{16 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)}.\]

Ответ: \(56\sqrt{3}\) см\(^2\).