Страница 142 номер 15.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная шестиугольная призма
шар с центром \(O\) и радиусом \(R\) вписан в призму

Найти: \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности призмы.

Решение: Правильная призма является прямой. Если в прямую призму можно вписать сферу, то в основание призмы можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы. Значит, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник \(ABCDEF\), равен \(R\), а высота призмы \(AA_1 = 2R\). Центр \(O\) шара, вписанного в правильную призму, — середина отрезка \(O_1O_2\), соединяющего центры оснований призмы.

Правильный шестиугольник \(ABCDEF\) с центром \(O_1\) состоит из шести равных правильных треугольников со стороной \(AB\), например \(O_1AB\). Радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен высоте такого треугольника: \(\frac{AB\sqrt{3}}{2} = R\), откуда \(AB = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}\).

Основания призмы — правильные шестиугольники со стороной \(AB\), боковые грани — шесть равных прямоугольников со сторонами \(AB\) и \(AA_1\):

\[\begin{aligned} S_{\text{осн}} &= 6 \cdot \frac{AB^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4R^2\sqrt{3}}{3 \cdot 4} = 2R^2\sqrt{3}; \\ S_{\text{бок}} &= 6AB \cdot AA_1 = 6 \cdot \frac{2R\sqrt{3}}{3} \cdot 2R = 8R^2\sqrt{3}; \\ S_{\text{полн}} &= S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 8R^2\sqrt{3} + 4R^2\sqrt{3} = 12R^2\sqrt{3}. \end{aligned}\]

Ответ: \(12R^2\sqrt{3}\).