Страница 143 номер 15.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямая призма
\(ABCD\) — ромб, \(AC = 16\) см, \(BD = 12\) см
в призму можно вписать шар
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Пусть \(O\) и \(r\) — центр и радиус шара, вписанного в призму. Поскольку в прямую призму вписан шар, то в основание призмы можно вписать окружность и диаметр этой окружности равен диаметру шара, т. е. боковому ребру призмы.
Пусть \(O_1\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\). Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: \(AO_1 = 8\) см, \(BO_1 = 6\) см. Из прямоугольного треугольника \(AO_1B\): \(AB = \sqrt{AO_1^2 + BO_1^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\) (см).
Диагонали ромба — биссектрисы его углов, поэтому точка \(O_1\) равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в него окружности. Пусть эта окружность касается сторон \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\). Радиусы \(O_1E\) и \(O_1F\) перпендикулярны параллельным прямым \(AB\) и \(CD\), поэтому точки \(E\), \(O_1\), \(F\) лежат на одной прямой, и диаметр \(EF\) равен высоте ромба.
\[\begin{aligned} S_{ABCD} &= \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96 \text{ (см}^2\text{)}; \\ EF &= \frac{S_{ABCD}}{AB} = \frac{96}{10} = 9{,}6 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Боковое ребро призмы равно диаметру шара, то есть диаметру \(EF\) вписанной в основание окружности: \(AA_1 = 9{,}6\) см. Боковые грани прямой призмы — четыре равных прямоугольника со сторонами \(AB\) и \(AA_1\), поэтому \(S_{\text{бок}} = 4AB \cdot AA_1 = 4 \cdot 10 \cdot 9{,}6 = 384\) (см\(^2\)).
Ответ: 384 см\(^2\).
Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямая призма
\(ABCD\) — ромб, \(AC = 16\) см, \(BD = 12\) см
в призму можно вписать шар
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Пусть \(O\) и \(r\) — центр и радиус шара, вписанного в призму. Поскольку в прямую призму вписан шар, то в основание призмы можно вписать окружность и диаметр этой окружности равен диаметру шара, т. е. боковому ребру призмы.
Пусть \(O_1\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\). Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: \(AO_1 = 8\) см, \(BO_1 = 6\) см. Из прямоугольного треугольника \(AO_1B\): \(AB = \sqrt{AO_1^2 + BO_1^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\) (см).
Диагонали ромба — биссектрисы его углов, поэтому точка \(O_1\) равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в него окружности. Пусть эта окружность касается сторон \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\). Радиусы \(O_1E\) и \(O_1F\) перпендикулярны параллельным прямым \(AB\) и \(CD\), поэтому точки \(E\), \(O_1\), \(F\) лежат на одной прямой, и диаметр \(EF\) равен высоте ромба.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, а также произведению стороны на высоту:
\[\begin{aligned} S_{ABCD} &= \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96 \text{ (см}^2\text{)}; \\ EF &= \frac{S_{ABCD}}{AB} = \frac{96}{10} = 9{,}6 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Боковое ребро призмы равно диаметру шара, то есть диаметру \(EF\) вписанной в основание окружности: \(AA_1 = 9{,}6\) см. Боковые грани прямой призмы — четыре равных прямоугольника со сторонами \(AB\) и \(AA_1\), поэтому \(S_{\text{бок}} = 4AB \cdot AA_1 = 4 \cdot 10 \cdot 9{,}6 = 384\) (см\(^2\)).
Ответ: 384 см\(^2\).
