Страница 143 номер 15.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, бо́льшая боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол — \(30^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямая призма
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp AD\)
\(CD = 12\) см — бо́льшая боковая сторона
\(\angle ADC = 30^\circ\)
в призму можно вписать шар
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Поскольку в прямую призму можно вписать шар, то в основание призмы можно вписать окружность и диаметр этой окружности равен диаметру шара, т. е. боковому ребру призмы. Основанием призмы является трапеция, поэтому диаметр вписанной окружности равен высоте этой трапеции: основания трапеции параллельны и касаются окружности.
Боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям трапеции и равна её высоте, а вторая боковая сторона \(CD\) — наклонная и длиннее перпендикуляра \(AB\); поэтому \(CD = 12\) см — бо́льшая боковая сторона, а \(\angle ADC = 30^\circ\) — острый угол трапеции. Проведём высоту \(CH\) трапеции.
Из прямоугольного треугольника \(CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\)): \(CH = CD \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) (см). Высоты трапеции равны, поэтому \(AB = CH = 6\) см, и боковое ребро призмы \(AA_1 = 6\) см.
В трапецию \(ABCD\) можно вписать окружность, поэтому \(AD + BC = AB + CD = 6 + 12 = 18\) (см), а периметр трапеции равен \(2 \cdot 18 = 36\) (см). Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, у каждого из которых одна сторона — сторона основания, а другая равна боковому ребру \(AA_1\), поэтому \(S_{\text{бок}} = (AB + BC + CD + AD) \cdot AA_1 = 36 \cdot 6 = 216\) (см\(^2\)).
Ответ: 216 см\(^2\).
